Какой объем у прямоугольного параллелепипеда, у которого основание является квадратом со стороной a, если диагональ боковой грани образует угол α с плоскостью основания?

Геометрия 8 класс Объем прямоугольного параллелепипеда объём прямоугольного параллелепипеда основание квадрат сторона a диагональ боковой грани угол α плоскость основания

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, у которого основание является квадратом со стороной a, и диагональ боковой грани образует угол α с плоскостью основания, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определим высоту параллелепипеда.

   Диагональ боковой грани может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Боковая грань представляет собой прямоугольный треугольник, где одна сторона равна высоте h, а другая сторона равна стороне основания a. Таким образом, диагональ d боковой грани будет равна:

   d = √(a² + h²)

2. Используем угол α для нахождения высоты h.

   По определению косинуса угла в треугольнике мы можем записать:

   cos(α) = a / d

   Подставим выражение для d:

   cos(α) = a / √(a² + h²)

   Теперь, возведем обе стороны в квадрат:

   cos²(α) = a² / (a² + h²)

   Умножим обе стороны на (a² + h²):

   cos²(α) * (a² + h²) = a²

   Раскроем скобки:

   cos²(α) * a² + cos²(α) * h² = a²

   Теперь выразим h²:

   cos²(α) * h² = a² - cos²(α) * a²

   h² = (1 - cos²(α)) * a² / cos²(α)

   h = a * √(1 - cos²(α)) / cos(α) = a * tan(α)

3. Найдем объем V параллелепипеда.

   Объем V прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

   V = основание * высота = a² * h

   Подставим найденное значение высоты h:

   V = a² * (a * tan(α)) = a³ * tan(α)

Итак, объем прямоугольного параллелепипеда равен:

V = a³ * tan(α)

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, у которого основание является квадратом со стороной a, и диагональ боковой грани образует угол α с плоскостью основания, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определим параметры параллелепипеда

• Основание параллелепипеда - квадрат со стороной a.
• Высота параллелепипеда - обозначим ее как h.

Шаг 2: Найдем диагональ боковой грани

Боковая грань параллелепипеда представляет собой прямоугольник, где одна сторона равна a (сторона основания), а другая сторона - это высота h. Чтобы найти диагональ этой боковой грани, используем теорему Пифагора:

Диагональ d боковой грани равна:

d = √(a² + h²)

Шаг 3: Связь между высотой и углом α

Диагональ боковой грани образует угол α с плоскостью основания. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты h через угол α.

Согласно определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

tan(α) = h / a

Отсюда можем выразить высоту h:

h = a * tan(α)

Шаг 4: Подставим значение высоты в формулу для объема

Объем V прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = основание * высота

Так как основание является квадратом со стороной a, то:

V = a² * h

Теперь подставим значение h:

V = a² * (a * tan(α))

V = a³ * tan(α)

Итак, объем прямоугольного параллелепипеда можно выразить как:

V = a³ * tan(α)