Чтобы найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, нам нужно воспользоваться формулой для радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

R = c / 2,

где R - радиус окружности, c - длина гипотенузы треугольника.

Давайте начнем с того, что обозначим катеты нашего треугольника как a и b. У нас есть отношение катетов 3:4, поэтому мы можем записать:

• a = 3k
• b = 4k

где k - некоторая положительная величина, которая нам еще предстоит определить.

Теперь найдем периметр треугольника. Периметр P равен сумме всех сторон:

P = a + b + c.

Поскольку у нас есть отношение катетов, мы можем выразить гипотенузу c через катеты с помощью теоремы Пифагора:

c = √(a² + b²).

Подставим a и b:

c = √((3k)² + (4k)²) = √(9k² + 16k²) = √(25k²) = 5k.

Теперь подставим все в формулу для периметра:

P = 3k + 4k + 5k = 12k.

По условию задачи, периметр равен 36 см, то есть:

12k = 36.

Теперь найдем k:

k = 36 / 12 = 3.

Теперь можем найти длины катетов:

• a = 3k = 3 * 3 = 9 см
• b = 4k = 4 * 3 = 12 см

Теперь мы можем найти гипотенузу c:

c = 5k = 5 * 3 = 15 см.

Теперь, зная длину гипотенузы, можем найти радиус окружности:

R = c / 2 = 15 / 2 = 7.5 см.

Ответ: Радиус окружности, описанной около данного прямоугольного треугольника, равен 7.5 см.