Какой радиус окружности, вписанной в ромб, если один из углов ромба равен 60 градусам, а большая диагональ составляет 24 см?

Геометрия 8 класс Вписанная и описанная окружности многоугольников радиус окружности вписанной в ромб ромб угол 60 градусов большая диагональ 24 см геометрия 8 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в ромб, нам нужно знать несколько вещей. В ромбе все стороны равны, а также диагонали пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре равных треугольника.

Давайте начнем с того, что мы знаем:

• Один из углов ромба равен 60 градусам.
• Большая диагональ составляет 24 см.

Так как большой угол ромба равен 60 градусам, то каждый из треугольников, образованных диагоналями, будет равнобедренным. Обозначим:

• Большую диагональ как D1 = 24 см.
• Малую диагональ как D2.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, вписанной в ромб, нам нужно сначала найти длину стороны ромба. Для этого воспользуемся тем, что диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника.

Каждая диагональ делится пополам в точке пересечения, поэтому:

• Половина большой диагонали (D1/2) = 24/2 = 12 см.

Теперь в каждом из этих треугольников у нас есть:

• Одна сторона (половина большой диагонали) = 12 см.
• Угол между сторонами ромба = 60 градусов.

Теперь найдем длину стороны ромба (s) с помощью теоремы косинусов:

Согласно теореме косинусов, для треугольника с двумя сторонами a и b и углом между ними C, выполняется равенство:

s^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где a = b = 12 см и C = 60 градусов.

Подставим значения:

• s^2 = 12^2 + 12^2 - 2 * 12 * 12 * cos(60°)
• cos(60°) = 0.5

Теперь подставляем:

• s^2 = 144 + 144 - 2 * 12 * 12 * 0.5
• s^2 = 144 + 144 - 144
• s^2 = 144
• s = 12 см.

Теперь, когда мы знаем длину стороны ромба, можем найти радиус вписанной окружности (r). Радиус вписанной окружности ромба вычисляется по формуле:

r = (s * h) / (s + s + s + s), где h - высота ромба.

Высоту h можно найти через малую диагональ D2. Но мы знаем, что:

• h = s * sin(60°) = 12 * (sqrt(3)/2) = 6sqrt(3) см.

Теперь подставим в формулу для радиуса:

• r = (12 * 6sqrt(3)) / (4 * 12) = (72sqrt(3)) / 48 = (3sqrt(3)) / 2 см.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в ромб, составляет:

3sqrt(3) / 2 см.