Какой синус угла между диагоналями прямоугольника, если его периметр равен 32, а площадь составляет 48?

Геометрия 8 класс Диагонали прямоугольника синус угла диагонали прямоугольника периметр 32 площадь 48 геометрия 8 класс Новый

Чтобы найти синус угла между диагоналями прямоугольника, сначала нам нужно определить его стороны. Давайте обозначим стороны прямоугольника как a и b.

Мы знаем, что:

• Периметр P = 2(a + b) = 32
• Площадь S = a * b = 48

Из первого уравнения мы можем выразить сумму сторон:

• a + b = 32 / 2 = 16

Теперь у нас есть система уравнений:

• a + b = 16
• a * b = 48

Из первого уравнения выразим одну сторону через другую:

• b = 16 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

• a * (16 - a) = 48

Раскроем скобки:

• 16a - a^2 = 48

Переносим все в одну сторону:

• a^2 - 16a + 48 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 1 * 48 = 256 - 192 = 64

Так как D > 0, у нас два разных корня:

• a = (16 + √64) / 2 = (16 + 8) / 2 = 24 / 2 = 12
• a = (16 - √64) / 2 = (16 - 8) / 2 = 8 / 2 = 4

Таким образом, стороны прямоугольника равны:

• a = 12, b = 4

Теперь найдем длину диагоналей. Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по формуле:

• d = √(a^2 + b^2)

Подставим наши значения:

• d = √(12^2 + 4^2) = √(144 + 16) = √160 = 4√10

Теперь найдем угол между диагоналями. Углы между диагоналями прямоугольника равны, и мы можем использовать тригонометрию. Синус угла между диагоналями можно найти по формуле:

• sin(θ) = (a * b) / (d^2)

Где d^2 = (4√10)^2 = 16 * 10 = 160.

Теперь подставим значения:

• sin(θ) = (12 * 4) / 160 = 48 / 160 = 3 / 10.

Таким образом, синус угла между диагоналями прямоугольника равен:

0.3