Чтобы найти длину стороны AB, воспользуемся свойством трапеции и теоремой о пересечении продолжений боковых сторон.

Дано, что продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Это значит, что точки O, A и B лежат на одной прямой, и точки O, C и D также лежат на одной прямой.

Из условия задачи известно, что AO = 18 см и отношение BC к AD составляет 5 к 9. Обозначим:

• BC = 5x
• AD = 9x

Так как O — точка пересечения продолжений боковых сторон, мы можем применить свойство подобия треугольников. Треугольники OBC и OAD подобны по двум углам (вертикальные углы при пересечении прямых и углы при основании трапеции).

Из подобия треугольников следует, что:

• Отношение BC к AD равно отношению OB к OD.

Таким образом, можем записать:

• OB / OD = 5 / 9

Пусть OB = 5k и OD = 9k. Тогда полная длина отрезка BD, который составляет сумму OB и OD, равна:

• BD = OB + OD = 5k + 9k = 14k

Теперь рассмотрим треугольники OAB и OAD. Они также подобны по двум углам, и из этого следует, что:

• Отношение AO к AD равно отношению AB к BD.

Подставим известные значения:

• AO / AD = AB / BD
• 18 / 9x = AB / 14k

Упростим выражение:

• 2 / x = AB / 14k

Отсюда найдем AB:

• AB = 14k * (2 / x)

Так как x = k (поскольку OB / OD = 5 / 9 и BC / AD = 5 / 9), то x и k равны.

Подставим x = k в выражение для AB:

• AB = 14 * (2 / 1) = 28

Таким образом, длина стороны AB равна 28 см.