Точка К делит сторону квадрата ABCD в отношении 3:2, считая от точки В. Отрезки АС и DK пересекаются в точке F. Площадь треугольника АDF равна 50 см². Какова площадь треугольника CFK?

Геометрия 8 класс Площади треугольников геометрия 8 класс квадрат ABCD точка К отношение 3:2 отрезок DK пересечение отрезков площадь треугольника ADF площадь треугольника CFK решение задачи площадь треугольника свойства треугольников координаты точек геометрические фигуры задачи на площади геометрические отношения Новый

Для решения задачи начнем с того, что определим расположение точек квадрата ABCD и точки K, которая делит сторону BC в отношении 3:2.

• Пусть сторона квадрата равна a.
• Точки квадрата можно обозначить следующим образом:
• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, a)
• D(0, a)
• Теперь найдем координаты точки K. Поскольку K делит сторону BC в отношении 3:2, это означает, что:
• Координаты K можно найти по формуле деления отрезка:
• K = (x1 + (x2 - x1) * m / (m + n), y1 + (y2 - y1) * m / (m + n)),
• где m = 3, n = 2, (x1, y1) = B(a, 0), (x2, y2) = C(a, a).

Теперь подставим значения:

• x1 = a, y1 = 0
• x2 = a, y2 = a
• K = (a + (a - a) * 3 / (3 + 2), 0 + (a - 0) * 3 / (3 + 2)) = (a, 0 + (3/5)a) = (a, 0.6a).

Теперь у нас есть координаты всех точек:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, a)
• D(0, a)
• K(a, 0.6a)

Теперь найдем уравнение прямой AC. Прямая AC соединяет точки A и C:

• Уравнение прямой можно записать в виде y = kx + b, где k — угловой коэффициент.
• Угловой коэффициент k = (yC - yA) / (xC - xA) = (a - 0) / (a - 0) = 1.
• Следовательно, уравнение прямой AC: y = x.

Теперь найдем уравнение прямой DK, которая соединяет точки D и K:

• Угловой коэффициент k = (yK - yD) / (xK - xD) = (0.6a - a) / (a - 0) = -0.4.
• Уравнение прямой DK: y - a = -0.4(x - 0), что можно записать как y = -0.4x + a.

Теперь найдем точку F, где пересекаются прямые AC и DK:

• Подставим уравнение AC в уравнение DK:
• x = -0.4x + a, что дает 1.4x = a, отсюда x = a/1.4.
• Теперь подставим x в уравнение AC для получения y:
• y = a/1.4.

Таким образом, координаты точки F:

• F(a/1.4, a/1.4).

Теперь, зная координаты точки F, мы можем найти площадь треугольника CFK с использованием формулы площади треугольника:

• Площадь треугольника = 1/2 * основание * высота.
• Основание CF = расстояние между точками C и F.
• CF = sqrt((a - a/1.4)^2 + (a - a/1.4)^2) = sqrt((0.4a)^2 + (0.4a)^2) = sqrt(2 * (0.4a)^2) = 0.4a * sqrt(2).

Теперь площадь треугольника CFK:

• Площадь треугольника CFK = 1/2 * CF * высота, где высота равна расстоянию от точки K до линии CF.
• Мы знаем, что площадь треугольника ADF равна 50 см² и, учитывая, что треугольники ADF и CFK имеют общее основание DF, можно установить пропорцию.

Так как площадь треугольника ADF равна 50 см², а CFK — это часть того же квадрата, то:

• Площадь треугольника CFK = (площадь треугольника ADF) * (отношение оснований).
• Поскольку K делит BC в отношении 3:2, то площадь CFK будет равна 50 см² * (2/5) = 20 см².

Ответ: Площадь треугольника CFK равна 20 см².