В окружности пересекаются две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD в точке K. Известно, что AK=6 см, BK=32 см, а KD=24 см. Нужно найти:

1. длину хорд BD и CD;
2. расстояние от точки A до прямой BD;
3. радиус окружности.

Геометрия 8 класс Перпендикулярные хорды в окружности геометрия 8 класс окружность хорды перпендикулярные хорды длина хорд расстояние от точки до прямой радиус окружности задача на окружность свойства хорд геометрические задачи вычисление радиуса координаты точек треугольники теорема о хордax Новый

a)

При пересечении двух хордов окружности, которые взаимно перпендикулярны, выполняется важная теорема: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Это значит, что:

• Для хорды AB: AK * KB
• Для хорды CD: CK * KD

Зная значения отрезков: AK = 6 см, BK = 32 см и KD = 24 см, мы можем найти отрезок CK:

Применим формулу:

CK * KD = AK * KB

CK * 24 = 6 * 32

CK * 24 = 192

Теперь делим обе стороны уравнения на 24:

CK = 192 / 24 = 8 см

Теперь можем найти длину хорды CD:

CD = CK + KD = 8 см + 24 см = 32 см

Также найдем длину хорды AB:

AB = AK + BK = 6 см + 32 см = 38 см

b)

Теперь найдем длину хорды BD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как BD является гипотенузой прямоугольного треугольника BDK:

BD = √(BK² + KD²) = √(32² + 24²) = √(1024 + 576) = √1600 = 40 см

Теперь необходимо найти синус угла ∠KBD:

sin ∠KBD = KD / BD = 24 / 40 = 0.6

Расстояние от точки A до прямой BD будет равно длине перпендикулярного отрезка AH, который перпендикулярен BD:

AH = AB * sin ∠KBD = 38 см * 0.6 = 22.8 см

в)

Теперь найдем радиус окружности. Для этого рассмотрим треугольник AKD, где AD - гипотенуза:

AD = √(AK² + KD²) = √(6² + 24²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17 см

Так как треугольник ABD является вписанным, то мы можем применить теорему синусов:

AD / sin ∠ABD = 2R

Теперь подставим известные значения:

R = 0.5 * (6√17) / 0.6 = 5√17 см

Таким образом, мы нашли длины хорд BD и CD, расстояние от точки A до прямой BD и радиус окружности.