В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные 5 и 11. Каково расстояние от центра окружности до точки, где пересекаются эти хорды?

Геометрия 8 класс Окружности и их свойства окружность хорды перпендикулярные отрезки центр окружности расстояние геометрия 8 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что у нас есть две взаимно перпендикулярные хорды, которые пересекаются в некоторой точке, обозначим её O. Обозначим одну хорду как AB, а другую как CD. Хорда AB делится на отрезки AO и OB, а хорда CD делится на отрезки CO и OD.

Согласно условию задачи, AO = 5 и OB = 11. Сначала найдем длину всей хорды AB:

• Длина AB = AO + OB = 5 + 11 = 16.

Теперь рассмотрим хорду CD. Поскольку хорды перпендикулярны, мы можем воспользоваться свойством, что произведение отрезков, на которые делит одна хорда другую, всегда равно:

• AO * OB = CO * OD.

Мы знаем, что AO = 5 и OB = 11, поэтому:

• 5 * 11 = 55.

Таким образом, произведение отрезков CO и OD также равно 55. Пусть CO = x, тогда OD = y, и мы можем записать:

• x * y = 55.

Теперь найдем длину хорды CD. Длина CD будет равна x + y. Чтобы выразить y через x, используем уравнение:

• y = 55 / x.

Следовательно, длина CD:

• CD = x + y = x + 55/x.

Теперь нам нужно найти расстояние от центра окружности до точки O. Это расстояние можно найти, используя теорему о перпендикуляре, проведенном из центра окружности к хорде. Если d - расстояние от центра окружности до точки O, то:

• d^2 + (AB/2)^2 = R^2,
• d^2 + (CD/2)^2 = R^2.

Здесь R - радиус окружности. Подставим значения:

• AB/2 = 16/2 = 8,
• CD/2 = (x + 55/x)/2.

Теперь у нас есть два уравнения, которые выражают R в зависимости от d:

• d^2 + 8^2 = R^2,
• d^2 + ((x + 55/x)/2)^2 = R^2.

Так как R^2 одинаковое в обоих уравнениях, приравняем их:

• d^2 + 64 = d^2 + ((x + 55/x)/2)^2.

Сократив d^2, мы получаем:

• 64 = ((x + 55/x)/2)^2.

Теперь решим это уравнение:

• 8 = (x + 55/x)/2,
• 16 = x + 55/x.

Умножим обе стороны на x:

• 16x = x^2 + 55.

Переносим все в одну сторону:

• x^2 - 16x + 55 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 1 * 55 = 256 - 220 = 36.

Теперь найдем корни уравнения:

• x1,2 = (16 ± √36) / 2 = (16 ± 6) / 2.
• x1 = 11, x2 = 5.

Теперь мы можем найти значение y:

• Если x = 11, то y = 55 / 11 = 5.
• Если x = 5, то y = 55 / 5 = 11.

Таким образом, длина хорды CD равна 16, как и длина хорды AB.

Теперь можем найти расстояние d:

• d^2 + 64 = R^2,
• d^2 + 64 = d^2 + 64,
• Значит, d = 8.

Ответ: Расстояние от центра окружности до точки O, где пересекаются хорды, равно 8.