В параллелограмме один угол равен 120 градусам, большая диагональ составляет 14 см, а длина одной из сторон равна 10 см. Как можно найти периметр и площадь этого параллелограмма?

Геометрия 8 класс Параллелограммы параллелограмм угол 120 градусов большая диагональ длина стороны 10 см периметр площадь геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи о нахождении периметра и площади параллелограмма, давайте разберем шаги по порядку.

Шаг 1: Нахождение длины второй стороны параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны, и сумма углов составляет 360 градусов. Если один угол равен 120 градусам, то другой угол будет равен 60 градусам (180 - 120). Таким образом, у нас есть:

• Угол A = 120 градусов
• Угол B = 60 градусов

Теперь мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения длины второй стороны параллелограмма. Обозначим:

• AB = 10 см (известная сторона)
• AC = 14 см (большая диагональ)
• BC = x (длина второй стороны, которую нужно найти)

По теореме косинусов, для треугольника ABC:

AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(угол A)

Подставим известные значения:

14² = 10² + x² - 2 * 10 * x * cos(120°)

Зная, что cos(120°) = -0.5, упростим уравнение:

196 = 100 + x² + 10x

Перепишем уравнение:

x² + 10x - 96 = 0

Теперь решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = b² - 4ac = 10² - 4 * 1 * (-96) = 100 + 384 = 484

Корни уравнения:

x = (-b ± sqrt(D)) / 2a = (-10 ± sqrt(484)) / 2 = (-10 ± 22) / 2

Таким образом, получаем два значения:

• x1 = (12) / 2 = 6 см
• x2 = (-32) / 2 (отрицательное значение, не подходит)

Следовательно, длина второй стороны BC = 6 см.

Шаг 2: Нахождение периметра параллелограмма

Периметр P параллелограмма можно найти по формуле:

P = 2 * (AB + BC)

Подставляем значения:

P = 2 * (10 + 6) = 2 * 16 = 32 см.

Шаг 3: Нахождение площади параллелограмма

Площадь S параллелограмма можно найти по формуле:

S = a * b * sin(угол),

где a и b - длины сторон, а угол - угол между ними. В нашем случае:

• a = 10 см
• b = 6 см
• угол = 120 градусов

Зная, что sin(120°) = sin(60°) = sqrt(3)/2, подставляем в формулу:

S = 10 * 6 * (sqrt(3) / 2) = 30 * sqrt(3) см².

Таким образом, мы нашли:

• Периметр параллелограмма: 32 см
• Площадь параллелограмма: 30 * sqrt(3) см²