В равнобедренной трапеции ABCD диагонали AC и BD равны и делятся в отношении m:n. При этом разность сторон AD и BC составляет 4 см. Какова длина оснований c = 42 мм, m = 8, n = 13, а также периметры треугольников трапеции и их пересечения в точке?

Геометрия 8 класс Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция диагонали AC и BD длина оснований разность сторон периметры треугольников геометрия 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что в равнобедренной трапеции ABCD, где AD и BC – боковые стороны, а AB и CD – основания, действительно выполняются некоторые важные свойства.

Шаг 1: Определим длины боковых сторон.

У нас есть информация о разности боковых сторон AD и BC, которая составляет 4 см. Обозначим длину стороны BC как x, тогда длина стороны AD будет x + 4 см.

Шаг 2: Найдем длины оснований.

Согласно условию, длина одного из оснований равна 42 мм, что соответствует 4.2 см (так как 1 см = 10 мм).

Обозначим основание AB как c = 4.2 см, а основание CD как d. Поскольку трапеция равнобедренная, то длины оснований связаны с боковыми сторонами.

Шаг 3: Применим теорему о делении диагоналей.

Поскольку диагонали AC и BD равны и делятся в отношении m:n, то соотношение между длинами оснований и боковыми сторонами будет зависеть от этого отношения. Мы знаем, что:

• m = 8
• n = 13

Таким образом, длины оснований можно выразить через это соотношение.

Шаг 4: Определим длину второго основания.

Согласно свойствам равнобедренной трапеции, разность оснований равна разности боковых сторон. То есть:

d - c = (AD - BC) = 4 см.

Подставим значение c:

d - 4.2 = 4

Отсюда d = 4 + 4.2 = 8.2 см.

Шаг 5: Вычислим периметры треугольников.

Периметр трапеции ABCD можно вычислить как:

P = AB + BC + CD + AD = c + x + d + (x + 4).

Подставим известные значения:

P = 4.2 + x + 8.2 + (x + 4) = 2x + 16.4 см.

Шаг 6: Определим длину боковых сторон.

Теперь нам нужно найти x. Для этого используем соотношение между m и n. В равнобедренной трапеции с равными диагоналями, длины боковых сторон пропорциональны основаниям:

x / (8.2 - 4.2) = 8 / 13.

Это равно x / 4 = 8 / 13, откуда x = (8 * 4) / 13 = 2.46 см.

Шаг 7: Найдем периметр трапеции.

Теперь, когда мы знаем x, можем подставить его в формулу для периметра:

P = 2 * 2.46 + 16.4 = 4.92 + 16.4 = 21.32 см.

Шаг 8: Периметры треугольников.

Периметры треугольников, образованных диагоналями, также можно рассчитать, но это требует дополнительной информации о высоте или других элементах. Однако, в данной задаче мы сосредоточились на нахождении оснований и периметра трапеции.

Итог:

• Длина оснований: c = 4.2 см, d = 8.2 см.
• Периметр трапеции: P = 21.32 см.