В равнобедренной трапеции диагональ равна 7 корень из 2 см и образует угол 45 градусов с основанием. Какова площадь этой трапеции?

Геометрия 8 класс Площадь трапеции равнобедренная трапеция диагональ 7 корень из 2 см угол 45 градусов основание площадь трапеции геометрия 8 класс задачи по геометрии формулы площади свойства трапеции Новый

Давайте решим задачу о нахождении площади равнобедренной трапеции, зная длину диагонали и угол, который она образует с основанием.

Обозначим вершины трапеции как A, B, C и D, где AB и CD — основания, а AD и BC — боковые стороны. Из условия задачи известно, что диагональ AC равна 7 корень из 2 см, и угол CAB равен 45 градусов.

Сначала проведем высоту CH из точки C на основание AB. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AHC, где угол AHC равен 90 градусов, а угол CAB равен 45 градусов. В таком треугольнике углы AHC и CAH дополняют друг друга до 90 градусов, следовательно, угол CAH также равен 45 градусов.

Так как угол CAH равен 45 градусам, то в этом треугольнике мы можем сказать, что катеты AH и CH равны. Обозначим их длину как x. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике AHC имеем:

1. AC^2 = AH^2 + CH^2
2. (7 корень из 2)^2 = x^2 + x^2
3. 98 = 2x^2
4. x^2 = 49
5. x = 7

Таким образом, AH = CH = 7 см.

Теперь найдем длины оснований трапеции. Обозначим длину основания AB как a, а длину основания CD как b. Поскольку трапеция равнобедренная, то боковые стороны AD и BC равны. Мы можем обозначить боковые стороны как h, а так как у нас равнобедренная трапеция, то:

AB = a = 7 - x = 7 - 7 = 0 см (это означает, что точки A и B совпадают, и мы находимся в особом случае, когда основание отсутствует).

Теперь, чтобы найти площадь S равнобедренной трапеции, мы можем использовать формулу:

S = ((AB + CD) / 2) * h.

Мы знаем, что высота h у нас равна 7 см, но так как основание AB равно 0 см, то CD также равно 14 см (так как это длина вертикальной стороны).

Теперь мы можем подставить значения:

S = ((0 + 14) / 2) * 7 = 7 * 7 = 49 см².

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 49 см².