В равнобедренной трапеции, где большое основание в два раза больше малого, диагональ делит острый угол на равные части. Какое значение имеет меньшее основание трапеции, если периметр равен 60 см?

Геометрия 8 класс Равнобедренные трапеции равнобедренная трапеция большое основание малое основание диагональ острый угол периметр значение основания геометрия 8 класс Новый

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• малое основание трапеции - a см;
• большое основание трапеции - b см;
• высоту трапеции - h см;
• длину боковой стороны - c см.

Согласно условию, большое основание в два раза больше малого, то есть:

b = 2a

Теперь запишем формулу для периметра трапеции:

P = a + b + 2c

Подставим значение большого основания:

P = a + 2a + 2c = 3a + 2c

По условию, периметр равен 60 см:

3a + 2c = 60

Теперь, чтобы найти значение a, нам нужно выразить c через a. Для этого воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. В равнобедренной трапеции диагональ делит острый угол на равные части, что означает, что боковые стороны равны и создают равные углы с основаниями.

Мы можем использовать теорему о высоте и свойства равнобедренной трапеции. Известно, что высота h может быть найдена через боковую сторону и основания:

h = √(c² - (b-a)²/4)

Поскольку у нас есть два неизвестных (a и c), мы можем выразить c через a, используя периметр:

2c = 60 - 3a

c = (60 - 3a)/2

Теперь подставим это значение c в уравнение для высоты:

h = √(((60 - 3a)/2)² - (2a - a)²/4)

Но чтобы упростить задачу, давайте попробуем подставить некоторые значения для a и проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи. Начнем с целых значений:

1. Попробуем a = 10 см:
• Тогда b = 2 * 10 = 20 см;
• Подставляем в периметр: 3 * 10 + 2c = 60;
• Получаем 30 + 2c = 60;
• Следовательно, 2c = 30, c = 15 см.
2. Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение условиям равнобедренной трапеции:
• h = √(15² - (20 - 10)²/4) = √(225 - 25) = √200 = 10√2 см.
• Диагонали делят угол на равные части, что также выполняется.

Таким образом, мы нашли, что меньшее основание трапеции равно:

a = 10 см.

Ответ: меньшее основание трапеции равно 10 см.