Для решения задачи о нахождении длин оснований равнобедренной трапеции, давайте обозначим необходимые элементы:

• Обозначим основания трапеции как a и b, где a - большее основание, а b - меньшее.
• Сумма оснований равна 43 см, то есть a + b = 43 см.
• Длина боковой стороны (которая равна длине двух боковых сторон, так как трапеция равнобедренная) равна 11 см.
• Острый угол равен 60 градусам.

Теперь мы можем использовать эти данные для нахождения длин оснований. Для этого воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и треугольников, образуемых боковыми сторонами и основаниями.

1. Поскольку угол при основании равен 60 градусам, мы можем провести перпендикуляры из концов меньшего основания b на большее основание a. Эти перпендикуляры будут равны h (высота трапеции).

2. Обозначим длину перпендикуляра как h. В этом случае, мы можем использовать треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной разности оснований:

• Согласно свойствам треугольников, мы можем записать: sin(60°) = h / 11.
• Следовательно, h = 11 * sin(60°) = 11 * (√3 / 2) = 11√3 / 2.

3. Теперь найдем длину половины разности оснований. Обозначим половину разности оснований как x. Тогда:

• cos(60°) = x / 11.
• Следовательно, x = 11 * cos(60°) = 11 * (1 / 2) = 5.5 см.

4. Теперь у нас есть система уравнений:

• a + b = 43 (сумма оснований)
• a - b = 2x = 2 * 5.5 = 11 см (разность оснований)

5. Теперь решим эту систему уравнений:

1. Сложим оба уравнения:
• (a + b) + (a - b) = 43 + 11
• 2a = 54
• a = 27 см.
2. Теперь подставим значение a в первое уравнение:
• 27 + b = 43
• b = 43 - 27 = 16 см.

Таким образом, длины оснований равнобедренной трапеции составляют:

• Большое основание a = 27 см.
• Меньшее основание b = 16 см.

Ответ: основания равнобедренной трапеции равны 27 см и 16 см.