В треугольнике ABC, где AB = BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC - точки P и K соответственно (точки P, M, K не лежат на одной прямой). Известно, что угол BMR равен углу BMK. Докажите, что:

1. углы BMR и BKM равны;
2. прямые PK и BM взаимно перпендикулярны.

Геометрия 8 класс Свойства треугольников и медиан геометрия треугольник ABC медиана BE угол BMR угол BMK доказательство углы BMR и BKM перпендикулярные прямые PK и BM свойства треугольников 8 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом. У нас есть треугольник ABC, в котором AB = BC, что означает, что этот треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: угол A равен углу C.

Теперь мы знаем, что BE является медианой, то есть она делит сторону AC пополам в точке E. Так как медиана в равнобедренном треугольнике также является высотой и биссектрисой, то угол ABE равен углу CBE.

Теперь обратим внимание на точки M, P и K. Мы знаем, что угол BMR равен углу BMK. Это значит, что лучи BM и BR образуют углы с отрезками MP и MK, которые равны друг другу.

Теперь давайте докажем, что углы BMR и BKM равны. Мы уже знаем, что угол BMR равен углу BMK. Если мы обозначим угол BKM как угол X, то у нас есть:

• угол BMR = угол BMK = угол X

Таким образом, мы можем сделать вывод, что углы BMR и BKM равны, так как оба равны углу BMK.

Теперь перейдем ко второй части доказательства, где нам нужно показать, что прямые PK и BM взаимно перпендикулярны. Мы уже установили, что треугольник BMR равен треугольнику BMK по двум углам и прилегающей стороне (BM является общей стороной). Это дает нам следующее:

• угол BMR = угол BMK
• BP = BK (так как AB = BC как стороны равнобедренного треугольника)

Так как BP = BK и углы BMR и BKM равны, это подразумевает, что треугольник PBK равнобедренный, а значит, высота из вершины B, которая является медианой BE, также будет перпендикулярна основанию PK.

Таким образом, мы можем заключить, что прямые PK и BM действительно взаимно перпендикулярны.

В итоге, мы доказали оба пункта: углы BMR и BKM равны, и прямые PK и BM перпендикулярны. Это подтверждает, что все шаги и рассуждения были верны.