Для нахождения косинуса угла C в треугольнике ABC с вершинами A(3; -1),B(2; 3),C(4; -2) мы можем воспользоваться формулой косинуса угла, которая выражается через длины сторон треугольника. Сначала найдем длины сторон AB, BC и AC.

• Длина стороны AB:
1. Используем формулу для расстояния между двумя точками: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).
2. Подставляем координаты A(3; -1) и B(2; 3):
3. AB = √((2 - 3)² + (3 - (-1))²) = √((-1)² + (4)²) = √(1 + 16) = √17.
• Длина стороны BC:
1. Подставляем координаты B(2; 3) и C(4; -2):
2. BC = √((4 - 2)² + (-2 - 3)²) = √((2)² + (-5)²) = √(4 + 25) = √29.
• Длина стороны AC:
1. Подставляем координаты A(3; -1) и C(4; -2):
2. AC = √((4 - 3)² + (-2 - (-1))²) = √((1)² + (-1)²) = √(1 + 1) = √2.

Формула косинуса угла C выглядит следующим образом:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab),

где a, b и c - это длины сторон треугольника, напротив углов A, B и C соответственно. В нашем случае:

• Сторона a = BC = √29 (напротив угла A),
• Сторона b = AC = √2 (напротив угла B),
• Сторона c = AB = √17 (напротив угла C).

Теперь подставим найденные значения в формулу:

cos(C) = (√29² + √2² - √17²) / (2 * √29 * √2).

Посчитаем:

• √29² = 29,
• √2² = 2,
• √17² = 17.

Теперь подставим эти значения:

cos(C) = (29 + 2 - 17) / (2 * √29 * √2) = (14) / (2 * √29 * √2).

Упростим:

cos(C) = 7 / (√58 * √29).

Таким образом, мы нашли косинус угла C. Если вам нужно более точное значение, вы можете использовать калькулятор для вычисления этого выражения.