Для решения задачи начнем с анализа данных, которые нам даны:

• Прямоугольник ABCD.
• Точка M находится на стороне BC.
• BM = 8.
• Угол AMD = 90 градусов.
• Угол ADM = 45 градусов.

Сначала обозначим стороны прямоугольника:

• AB = a (длина)
• AD = b (ширина)

Точка M делит сторону BC на два отрезка: BM и MC. Поскольку BM = 8, то длина отрезка MC равна (b - 8).

Теперь рассмотрим треугольник AMD. Мы знаем, что угол AMD равен 90 градусов, а угол ADM равен 45 градусов. Это означает, что треугольник AMD является прямоугольным и равнобедренным (так как один из углов равен 45 градусов, а другой - 90 градусов).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике длины катетов равны. Обозначим длину отрезка AM как x. Тогда:

• AD = AM = x
• MD = x

По свойству прямоугольного треугольника мы можем записать следующее уравнение:

BM + MC = BC, то есть:

8 + (b - 8) = b.

Теперь найдем длину стороны AD:

По свойству равнобедренного треугольника AMD:

x = MD = AM.

Таким образом, у нас есть:

AD = AM = MD = x.

Теперь мы знаем, что:

• AD = x
• AB = b

В треугольнике AMD:

AM = AD = x и MD = x, следовательно:

BM = 8 = x * sqrt(2).

Теперь найдем длину стороны AB (b):

Так как угол ADM равен 45 градусам, то:

AD = MD = x = 8 * sqrt(2).

Теперь можем найти периметр прямоугольника ABCD:

Периметр P прямоугольника равен:

P = 2 * (AB + AD) = 2 * (b + x) = 2 * (8 + 8 * sqrt(2)).

Таким образом, окончательный ответ:

Периметр прямоугольника ABCD равен 2 * (8 + 8 * sqrt(2)).