Чтобы определить длину средней линии ОК в прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС, следуем следующим шагам:

1. Определим свойства прямоугольного равнобедренного треугольника:
   • В таком треугольнике два катета равны между собой, и угол между ними равен 90 градусов.
   • Обозначим длину катетов как a. Тогда гипотенуза будет равна a√2.
2. Найдем радиус описанной окружности:
   • Радиус R описанной окружности прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: R = гипотенуза / 2.
   • В нашем случае гипотенуза равна a√2, следовательно, R = (a√2) / 2.
3. Установим связь с данным радиусом:
   • Согласно условию задачи, радиус окружности равен 5√6 см.
   • Таким образом, у нас есть уравнение: (a√2) / 2 = 5√6.
4. Решим уравнение для нахождения a:
   • Умножим обе стороны уравнения на 2: a√2 = 10√6.
   • Теперь разделим обе стороны на √2: a = (10√6) / √2 = 10√(6/2) = 10√3.
5. Найдем длину средней линии ОК:
   • Средняя линия в треугольнике соединяет середины двух сторон и равна половине длины третьей стороны.
   • В нашем случае, средняя линия ОК будет равна половине длины гипотенузы: ОК = (гипотенуза) / 2 = (a√2) / 2.
   • Подставим значение a: ОК = ((10√3)√2) / 2 = (10√(3*2)) / 2 = (10√6) / 2 = 5√6 см.

Таким образом, длина средней линии ОК равна 5√6 см.