Вокруг прямоугольного треугольника проведена окружность. Какое расстояние от концов гипотенузы до прямой, которая касается окружности в вершине прямого угла, равно p и q? Как можно определить длины катетов и радиус вписанной окружности?

Геометрия 8 класс Окружности и треугольники прямоугольный треугольник окружность расстояние гипотенуза катеты радиус вписанной окружности вершина прямого угла касательная Новый

Чтобы найти расстояния от концов гипотенузы до прямой, которая касается окружности в вершине прямого угла прямоугольного треугольника, и определить длины катетов и радиус вписанной окружности, давайте разберем это шаг за шагом.

1. Понимание окружности и треугольника:

• В любом прямоугольном треугольнике окружность, описанная вокруг него, имеет радиус, равный половине длины гипотенузы.
• Вершина прямого угла является центром вписанной окружности, а прямая, касающаяся окружности, проходит через эту вершину.

2. Обозначения:

• Обозначим катеты треугольника как a и b.
• Гипотенуза будет равна c = √(a² + b²).
• Радиус вписанной окружности r можно найти по формуле: r = (a + b - c) / 2.

3. Расстояния от концов гипотенузы:

Расстояния от концов гипотенузы до касательной, проведенной в вершине прямого угла, равны радиусу вписанной окружности. Таким образом:

• Расстояние от вершины A (одного конца гипотенузы) до касательной будет равно r.
• Расстояние от вершины B (второго конца гипотенузы) до касательной также будет равно r.

4. Вывод:

Итак, если расстояния от концов гипотенузы до прямой, касающейся окружности в вершине прямого угла, равны p и q, то:

• p = r
• q = r

Следовательно, p и q равны радиусу вписанной окружности r.

5. Определение катетов:

Если вам известна гипотенуза c и одно из расстояний p (или q), вы можете использовать следующие шаги для нахождения катетов:

1. Сначала найдите радиус вписанной окружности: r = p = q.
2. Используйте формулу для радиуса: r = (a + b - c) / 2.
3. Из этой формулы выразите a + b: a + b = 2r + c.
4. Теперь у вас есть сумма катетов a + b и длина гипотенузы c. Вы можете использовать теорему Пифагора для решения системы уравнений.

Таким образом, вы сможете определить длины катетов и радиус вписанной окружности в зависимости от известной информации.