1. Как можно доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины?

2. Как сформулировать и доказать утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники?

3. Как можно определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки?

4. Какое равенство считается основным тригонометрическим тождеством?

Геометрия 9 класс Треугольники и их свойства медианы треугольника доказательство медиан высота прямоугольного треугольника Подобные треугольники определение высоты предмета расстояние до недоступной точки тригонометрическое тождество Новый

1. Доказательство, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят каждую медиану в отношении 2:1:

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим треугольник ABC, где M, N и P - середины сторон BC, AC и AB соответственно. Медианы AM, BN и CP пересекаются в точке G.

1. Сначала покажем, что точки M, N и P действительно являются серединами сторон. Это значит, что BM = MC, AN = NC и AP = PB.
2. Теперь рассмотрим треугольники ABM и ACM. Они имеют общую сторону AM и равные основания BM и MC. Следовательно, по признаку равенства треугольников, треугольники ABM и ACM равны.
3. Поскольку G - точка пересечения медиан, то она делит AM в отношении AG:GM. Мы можем использовать свойства подобия треугольников и теорему о средней линии, чтобы показать, что AG = 2/3 AM и GM = 1/3 AM.
4. Аналогично, можно рассмотреть другие медианы и показать, что каждая из них делится в отношении 2:1.

2. Утверждение о высоте прямоугольного треугольника:

Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника ABC, где угол C - прямой, делит треугольник на два подобных треугольника: ACD и BCD.

1. Поскольку угол C - прямой, то угол ACD также прямой, следовательно, треугольник ACD - прямоугольный.
2. Треугольники ACD и BCD имеют общий угол C и оба имеют прямой угол, значит, они подобны по критерию "угол-угол".
3. Таким образом, высота CD делит треугольник ABC на два подобных треугольника ACD и BCD.

3. Определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки:

Существует несколько методов, но один из наиболее простых - это использование теоремы о подобии треугольников.

1. Измерьте расстояние до предмета (например, дерева) и обозначьте его как d.
2. Измерьте угол подъема до верхней точки предмета с помощью транспортиров или другого инструмента. Обозначьте его как α.
3. Используя тригонометрические функции, можно найти высоту h предмета: h = d * tan(α).

4. Основное тригонометрическое тождество:

Основное тригонометрическое тождество выражается следующим образом:

sin²(α) + cos²(α) = 1

Это тождество является основой для всех тригонометрических функций и используется для преобразования и упрощения тригонометрических выражений.