Как можно доказать, что периметр треугольника ABC, в котором угол C равен 90 градусов, равен диаметру окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно?

Геометрия 9 класс Свойства треугольников и окружностей периметр треугольника ABC угол C 90 градусов доказательство диаметр окружности касающаяся стороны AB продолжения сторон AC и BC треугольник геометрия 9 класс свойства треугольников окружность теорема геометрические доказательства Новый

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом. Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C равен 90 градусов. Наша цель — доказать, что периметр треугольника равен диаметру окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC и BC.

Для начала, вспомним, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза противоположна прямому углу. В данном треугольнике гипотенуза — это сторона AB.

Далее, рассмотрим окружность, которая касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC. Такая окружность называется вневписанной окружностью относительно стороны AB. Ее центр находится на биссектрисе внешнего угла при вершине C.

Теперь давайте сосредоточимся на свойствах этой окружности:

1. Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AB, равен половине суммы катетов треугольника (AC + BC).
2. Диаметр этой окружности равен сумме катетов треугольника, то есть AC + BC.

Теперь вернемся к периметру треугольника ABC. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

• AB (гипотенуза)
• AC (катет)
• BC (катет)

Однако, в прямоугольном треугольнике, где угол C равен 90 градусов, гипотенуза AB равна диаметру описанной окружности вокруг треугольника. Это связано с тем, что описанная окружность проходит через все три вершины треугольника, и диаметр этой окружности равен гипотенузе.

Следовательно, если сложить длины катетов AC и BC и прибавить гипотенузу AB, мы получим:

• Периметр треугольника = AC + BC + AB

Но, как мы выяснили, гипотенуза AB равна диаметру описанной окружности. Таким образом, периметр треугольника ABC равен диаметру окружности, которая касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC, что и требовалось доказать.