Как можно определить координаты середины D стороны BC треугольника ABC, если известны координаты вершин A(0;1), B(1;-4), C(5;2)? Также, каким образом можно доказать, что отрезок AD перпендикулярен отрезку BC? Как составить уравнение окружности с центром в точке D, которая проходит через точку B? И в конце, принадлежит ли точка C этой окружности?

Геометрия 9 класс Координатная геометрия координаты середины треугольник ABC отрезок AD перпендикулярность уравнение окружности центр окружности точка D точка B принадлежность точки C

Давайте подробно разберем все шаги, необходимые для решения вашей задачи.

1. Определение координат середины D стороны BC:

Сначала найдем координаты точки D, которая является серединой отрезка BC. Для этого воспользуемся формулой нахождения середины отрезка, которая выглядит так:

D(x_D; y_D) = ((x_B + x_C) / 2; (y_B + y_C) / 2)

Теперь подставим известные координаты вершин:

• Координаты точки B: (1; -4)
• Координаты точки C: (5; 2)

Теперь подставим значения в формулу:

• x_D = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3
• y_D = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, координаты точки D равны (3; -1).

2. Доказательство, что отрезок AD перпендикулярен отрезку BC:

Для того чтобы доказать, что отрезок AD перпендикулярен отрезку BC, нужно проверить, что произведение их направляющих векторов равно -1.

Сначала найдем векторы AD и BC:

• Вектор AD: (x_D - x_A; y_D - y_A) = (3 - 0; -1 - 1) = (3; -2)
• Вектор BC: (x_C - x_B; y_C - y_B) = (5 - 1; 2 - (-4)) = (4; 6)

Теперь найдем скалярное произведение векторов AD и BC:

(3 * 4) + ((-2) * 6) = 12 - 12 = 0

Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, отрезок AD перпендикулярен отрезку BC.

3. Составление уравнения окружности с центром в точке D, которая проходит через точку B:

Уравнение окружности с центром в точке D и радиусом, равным расстоянию от D до B, имеет вид:

(x - x_D)² + (y - y_D)² = R²

Сначала найдем радиус R, который равен расстоянию от D до B:

R = √((x_B - x_D)² + (y_B - y_D)²)

Подставим координаты:

• R = √((1 - 3)² + (-4 - (-1))²) = √((-2)² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13

Теперь подставим в уравнение окружности:

(x - 3)² + (y + 1)² = 13

4. Принадлежит ли точка C этой окружности?

Для проверки принадлежности точки C окружности, подставим координаты C(5; 2) в уравнение окружности:

(5 - 3)² + (2 + 1)² = 13

Посчитаем:

• (2)² + (3)² = 4 + 9 = 13

Поскольку равенство выполняется, точка C принадлежит окружности.

Таким образом, мы нашли координаты середины D, доказали перпендикулярность отрезков, составили уравнение окружности и проверили принадлежность точки C.

1. Определение координат середины D стороны BC:

Координаты середины D можно найти по формуле:

• D(x, y) = ((x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2)

Подставляем координаты B(1; -4) и C(5; 2):

• D = ((1 + 5)/2, (-4 + 2)/2) = (3, -1)

2. Доказательство перпендикулярности отрезка AD и BC:

Для этого нужно показать, что произведение наклонных углов (углов наклона) отрезков AD и BC равно -1.

• Наклон отрезка AD = (y_D - y_A) / (x_D - x_A) = (-1 - 1) / (3 - 0) = -2/3
• Наклон отрезка BC = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (2 - (-4)) / (5 - 1) = 6/4 = 3/2
• Произведение наклонов: (-2/3) * (3/2) = -1

Таким образом, отрезок AD перпендикулярен отрезку BC.

3. Уравнение окружности с центром в точке D и радиусом, равным расстоянию до B:

Уравнение окружности в общем виде: (x - x_D)² + (y - y_D)² = R².

Радиус R = расстояние от D до B:

• R = √((x_B - x_D)² + (y_B - y_D)²) = √((1 - 3)² + (-4 - (-1))²) = √(4 + 9) = √13.

Уравнение окружности: (x - 3)² + (y + 1)² = 13.

4. Принадлежит ли точка C этой окружности?

Подставим координаты C(5; 2) в уравнение окружности:

• (5 - 3)² + (2 + 1)² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13.

Так как равенство выполняется, точка C принадлежит окружности.