Как можно вычислить площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна 2 корня из 19, а длина медианы, проведенной из меньшего угла, составляет 5?

Геометрия 9 класс Площадь прямоугольного треугольника площадь прямоугольного треугольника длина гипотенузы медиана треугольника вычисление площади геометрия 9 класс Новый

Для того чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и медианы, проведенной из меньшего угла, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Обозначим элементы треугольника:
   • Гипотенуза - c = 2√19
   • Медиана, проведенная из меньшего угла - m_a = 5
2. Используем формулу для вычисления длины медианы:

   Длина медианы, проведенной из угла, равна:

   m_a = 0.5 * √(2b² + 2c² - a²)

   где a, b, c - стороны треугольника, и c - гипотенуза.

3. Поскольку у нас прямоугольный треугольник, используем теорему Пифагора:

   Стороны треугольника можно обозначить как a (меньшая катета), b (большая катета) и c (гипотенуза).

   Тогда:

   a² + b² = c²

   Подставляем значение гипотенузы:

   a² + b² = (2√19)² = 76

4. Теперь подставим значения в формулу длины медианы:

   m_a = 0.5 * √(2b² + 2c² - a²)

   Здесь c = 2√19, поэтому c² = 76.

   Подставим в формулу:

   5 = 0.5 * √(2b² + 2*76 - a²)

   Упрощаем:

   10 = √(2b² + 152 - a²)

   100 = 2b² + 152 - a²

   2b² - a² = -52

5. Теперь у нас есть система уравнений:
   • a² + b² = 76
   • 2b² - a² = -52
6. Решим систему уравнений:

   Из первого уравнения выразим a²:

   a² = 76 - b²

   Подставим это значение во второе уравнение:

   2b² - (76 - b²) = -52

   2b² + b² - 76 = -52

   3b² - 76 = -52

   3b² = 24

   b² = 8

   Теперь найдем a²:

   a² = 76 - 8 = 68

7. Теперь можем найти стороны треугольника:

   a = √68 = 2√17, b = √8 = 2√2

8. Теперь вычислим площадь треугольника:

   Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

   Площадь = 0.5 * a * b

   Подставим значения:

   Площадь = 0.5 * (2√17) * (2√2) = 2√34

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 2√34.