Тема: «Площадь прямоугольного треугольника» Цель: изучить формулу площади прямоугольного треугольника и научиться применять её для решения задач. План изучения темы: 1. Определение прямоугольного треугольника. 2. Понятие катетов и гипотенузы. 3. Формула площади прямоугольника. 4. Теорема о площади прямоугольного треугольника (доказательство). 5. Применение формулы на практике. 6. Решение задач на нахождение площади прямоугольного треугольника. 7. Закрепление материала. 8. Подведение итогов. Определение прямоугольного треугольника Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. Формула площади прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. То есть, если обозначить длину прямоугольника как a, а ширину как b, то площадь будет равна S = ab. Теорема о площади прямоугольного треугольника Теорема гласит, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это можно записать в виде формулы: S = 1/2 ab, где a и b — катеты треугольника. Доказательство теоремы: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC и BC. Проведём высоту CD из вершины C к гипотенузе AB. Тогда треугольник ACD будет прямоугольным, а AD и DB будут являться его катетами. Площадь треугольника ABC можно представить как сумму площадей треугольников ACD и CBD: S(ABC) = S(ACD) + S(CBD). Так как площадь треугольника ACD равна 1/2 AD CD, а площадь треугольника CBD равна 1/2 DB CD, то: S(ABC) = 1/2 AD CD + 1/2 DB CD. Поскольку CD — общая высота треугольников ACD и CBD, то AD CD = AC CB. Аналогично, DB CD = BC CB. Подставляя эти выражения в формулу, получаем: S(ABC) = 1/2 AC CB + 1/2 BC CB = 1/2 (AC + BC) CB. Но AC + BC = AB, так как это гипотенуза треугольника ABC. Следовательно, S(ABC) = 1/2 AB CB, что и требовалось доказать. Таким образом, мы доказали, что площадь любого прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = 1/2 ab. Применение формулы на практике Для нахождения площади прямоугольного треугольника необходимо знать длины его катетов или гипотенузы и одного из катетов. Если известны оба катета, то можно сразу подставить их значения в формулу и вычислить площадь. Если известна гипотенуза и один из катетов, то сначала нужно найти второй катет по теореме Пифагора, а затем подставить значения катетов в формулу. Пример 1: Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найти его площадь. Решение: Подставляем значения катетов в формулу: S = 1/2 3 4 = 6 см². Ответ: площадь треугольника равна 6 квадратных сантиметров. Пример 2: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов — 3 см. Найти площадь треугольника. Решение: Найдём второй катет по теореме Пифагора: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. 5² = 3² + b². b² = 25 - 9 = 16. b = √16 = 4. Теперь найдём площадь: S = 1/2 3 4 = 6 см². Ответ: площадь треугольника также равна 6 квадратным сантиметрам. Закрепление материала Решите следующие задачи: Задача 1: Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите его площадь. Задача 2: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов — 6 см. Найдите площадь треугольника. Задача 3: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4 см, а гипотенуза — 5 см. Чему равна площадь этого треугольника? Подведение итогов В ходе изучения данной темы мы познакомились с формулой площади прямоугольного треугольника, научились применять её на практике и закрепили полученные знания решением задач.