Какое расстояние между точками С и В, если точка А находится на расстоянии 9 см от плоскости α, а наклонные АВ и АС образуют углы 45° и 60° соответственно с этой плоскостью, при этом угол между проекциями наклонных составляет 150°?

Геометрия 9 класс Расстояние между точками в пространстве расстояние между точками точка А плоскость α наклонные АВ наклонные АС углы 45° углы 60° угол между проекциями геометрия 9 класс Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть:

• Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости α.
• Наклонная AВ образует угол 45° с плоскостью α.
• Наклонная AС образует угол 60° с плоскостью α.
• Угол между проекциями наклонных AВ и AС на плоскость α составляет 150°.

Теперь давайте определим длины наклонных AВ и AС. Для этого используем свойства треугольников и тригонометрию.

1. Для наклонной AВ:
• Угол между наклонной AВ и вертикалью равен 45°.
• По определению синуса, мы можем выразить длину AВ через расстояние от точки A до плоскости α:
• sin(45°) = противолежащий катет / гипотенуза.
• Противолежащий катет равен 9 см (это расстояние до плоскости), поэтому:
• 9 = AВ * sin(45°) = AВ * (√2/2).
• Следовательно, AВ = 9 * (√2) ≈ 12.73 см.
2. Для наклонной AС:
• Угол между наклонной AС и вертикалью равен 60°.
• По аналогии, мы можем выразить длину AС:
• sin(60°) = противолежащий катет / гипотенуза.
• Противолежащий катет равен 9 см, поэтому:
• 9 = AС * sin(60°) = AС * (√3/2).
• Следовательно, AС = 9 * (2/√3) = 6√3 ≈ 10.39 см.

Теперь у нас есть длины наклонных AВ и AС. Далее, чтобы найти расстояние между точками C и B, нам нужно воспользоваться теорией о проекциях.

Угол между проекциями наклонных AВ и AС на плоскость α составляет 150°. Это значит, что проекции образуют тупой угол. Мы можем использовать теорему косинусов для нахождения расстояния между точками B и C:

Обозначим:

• d = расстояние между точками B и C.
• AB = AВ = 12.73 см.
• AC = AС = 10.39 см.

По теореме косинусов:

d² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos(150°).

Значение cos(150°) = -√3/2. Подставим значения:

1. d² = (12.73)² + (10.39)² - 2 * (12.73) * (10.39) * (-√3/2).
2. d² = 162.5129 + 107.9561 + 2 * (12.73) * (10.39) * (√3/2).
3. d² = 270.469 + 132.618 = 403.087.
4. Следовательно, d = √403.087 ≈ 20.07 см.

Таким образом, расстояние между точками C и B составляет примерно 20.07 см.