Каковы углы треугольника АВС, если высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М, а угол BMC равен 140 градусам?

Геометрия 9 класс Треугольники и их свойства углы треугольника треугольник АВС высоты треугольника остроугольный треугольник равнобедренный треугольник угол BMC точка пересечения высот Новый

Рассмотрим треугольник ABC, который является остроугольным и равнобедренным, где AB = AC. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC, пересекаются в точке M, и нам дан угол BMC, равный 140 градусам. Нам нужно найти углы треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании (углы A и C) равны. Обозначим угол A как α, а угол C также как α. Угол B обозначим как β. Таким образом, у нас есть:

• Угол A = α
• Угол B = β
• Угол C = α

Из свойств треугольника мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

α + β + α = 180

Это можно упростить до:

2α + β = 180

Теперь, обратим внимание на угол BMC. Угол BMC образован высотами, проведенными из вершин B и C. Так как высоты перпендикулярны сторонам, это означает, что угол BMA и угол CMA равны 90 градусам.

Таким образом, угол BMC можно выразить как:

Угол BMC = 180 - (угол BMA + угол CMA) = 180 - (90 + 90) = 180 - 180 = 0

Однако, угол BMC равен 140 градусам, что говорит о том, что угол BMC является внешним углом для треугольника ABM. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

Угол BMC = угла A + угла ABM

Где угол ABM равен углу A, так как треугольник равнобедренный. Таким образом, мы можем записать:

140 = α + α

Это упрощается до:

140 = 2α

Теперь, решим это уравнение для α:

α = 140 / 2 = 70

Теперь, подставим значение α в уравнение для суммы углов треугольника:

2(70) + β = 180

Это дает:

140 + β = 180 β = 180 - 140 = 40

Таким образом, мы нашли углы треугольника ABC:

• Угол A = 70 градусов
• Угол B = 40 градусов
• Угол C = 70 градусов

Ответ: Углы треугольника ABC равны 70 градусов, 40 градусов и 70 градусов.