В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AB=5, AD=4, AA1=3, проведите сечение через вершины ABC1D1. Какова площадь этого сечения?

Геометрия 9 класс Сечения многогранников прямоугольный параллелепипед сечение площадь сечения вершины геометрия ABCDA1B1C1D1 AB=5 AD=4 AA1=3 Новый

Чтобы найти площадь сечения, проведенного через вершины ABC1D1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, начнем с анализа расположения этих точек.

Вершины параллелепипеда расположены следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(5, 0, 0)
• C(5, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(5, 0, 3)
• C1(5, 4, 3)
• D1(0, 4, 3)

Теперь определим координаты точек сечения ABC1D1:

• A(0, 0, 0)
• B(5, 0, 0)
• C1(5, 4, 3)
• D1(0, 4, 3)

Чтобы найти площадь четырехугольника ABC1D1, можно разбить его на два треугольника: ABC1 и ACD1. Для этого сначала найдем координаты всех точек:

Координаты точек:

• A(0, 0, 0)
• B(5, 0, 0)
• C1(5, 4, 3)
• D1(0, 4, 3)

Теперь найдем векторы для треугольников ABC1 и ACD1:

Для треугольника ABC1:

• AB = B - A = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0)
• AC1 = C1 - A = (5, 4, 3) - (0, 0, 0) = (5, 4, 3)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC1:

Векторное произведение можно найти по формуле:

• AB x AC1 = |i j k|
• |5 0 0|
• |5 4 3|

После вычислений получаем:

• AB x AC1 = (0*3 - 0*4)i - (5*3 - 0*5)j + (5*4 - 0*0)k
• AB x AC1 = (0)i - (15)j + (20)k

Теперь найдем длину векторного произведения:

Длина = sqrt(0^2 + (-15)^2 + 20^2) = sqrt(0 + 225 + 400) = sqrt(625) = 25.

Площадь треугольника ABC1 равна половине длины векторного произведения:

Площадь(ABC1) = 1/2 * 25 = 12.5.

Теперь найдем площадь треугольника ACD1:

Для треугольника ACD1:

• AC = C - A = (5, 4, 0) - (0, 0, 0) = (5, 4, 0)
• AD1 = D1 - A = (0, 4, 3) - (0, 0, 0) = (0, 4, 3)

Теперь найдем векторное произведение векторов AC и AD1:

Векторное произведение:

• AC x AD1 = |i j k|
• |5 4 0|
• |0 4 3|

После вычислений получаем:

• AC x AD1 = (4*3 - 0*4)i - (5*3 - 0*0)j + (5*4 - 0*0)k
• AC x AD1 = (12)i - (15)j + (20)k

Длина векторного произведения:

Длина = sqrt(12^2 + (-15)^2 + 20^2) = sqrt(144 + 225 + 400) = sqrt(769).

Площадь треугольника ACD1 равна:

Площадь(ACD1) = 1/2 * sqrt(769).

Теперь, чтобы найти общую площадь сечения ABC1D1, мы складываем площади двух треугольников:

Площадь(ABC1D1) = Площадь(ABC1) + Площадь(ACD1) = 12.5 + 1/2 * sqrt(769).

Таким образом, площадь сечения через вершины ABC1D1 составляет:

Площадь сечения ABC1D1 = 12.5 + 1/2 * sqrt(769).