В прямоугольной трапеции одна из диагоналей, перпендикулярная большей боковой стороне, имеет длину 5 см и образует угол 45 градусов с большим основанием. Какова площадь этой трапеции?

Геометрия 9 класс Площадь трапеции прямоугольная трапеция диагональ площадь трапеции угол 45 градусов большая боковая сторона длина диагонали Новый

Для нахождения площади прямоугольной трапеции, давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

1. Определим элементы трапеции:

• Пусть AB и CD - основания трапеции, где AB - большее основание.
• AD и BC - боковые стороны, причем AD перпендикулярно AB, а BC - перпендикулярно CD.
• Диагональ AC имеет длину 5 см и образует угол 45 градусов с большим основанием AB.

2. Найдем длины оснований и высоту:

• Так как угол между диагональю и основанием равен 45 градусам, это значит, что треугольник ABC является равнобедренным.
• В этом треугольнике, если мы опустим перпендикуляр из точки C на основание AB, то получим равнобедренный треугольник с углом 45 градусов.
• Поскольку AC = 5 см, то отрезок, который будет лежать на основании AB, будет равен 5 см * cos(45°) = 5 см * (1/√2) = 5√2/2 см.
• А высота AD = 5 см * sin(45°) = 5 см * (1/√2) = 5√2/2 см.

3. Найдем длину большего основания:

• Так как AD перпендикулярно AB, то длина большего основания AB равна длине отрезка, который мы нашли: AB = 5√2 см.
• Теперь, чтобы найти длину меньшего основания CD, нужно учесть, что CD = AB - 5√2/2 см.

4. Теперь можем найти площадь трапеции:

• Площадь прямоугольной трапеции вычисляется по формуле:
• Площадь = ((AB + CD) / 2) * высота.

5. Подставим значения:

• Площадь = ((5√2 + (5√2 - 5√2/2)) / 2) * (5√2/2).
• После упрощения получаем:
• Площадь = (5√2 / 2) * (5√2/2) = (25 * 2) / 4 = 12.5 см².

Таким образом, площадь данной прямоугольной трапеции составляет 12.5 см².