В треугольнике АВС дана плоскость, которая пересекает стороны АС и ВС в точках А1 и В1,
при этом она делит их в
отношении АА1 : А1С = ВВ1 : В1С = 2:3. Какова длина
отрезка А1В1, если длина отрезка АВ составляет 20 см?

Геометрия 9 класс Треугольники и их свойства треугольник геометрия длина отрезка пропорции A1B1 задача на геометрию стороны треугольника отрезок AC отрезок BC решение задачи Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства подобных треугольников и теорему о пропорциональности отрезков.

Дано, что плоскость пересекает стороны АС и ВС в точках А1 и В1, и делит эти стороны в отношении 2:3. Это означает, что:

• АА1 : А1С = 2 : 3
• ВВ1 : В1С = 2 : 3

Обозначим длину отрезка АС как x, и длину отрезка ВС как y. Тогда:

• АА1 = (2/5)x
• А1С = (3/5)x
• ВВ1 = (2/5)y
• В1С = (3/5)y

Теперь мы можем рассмотреть треугольники АА1В1 и АВС. Эти треугольники подобны, так как они имеют общий угол при вершине A и соответствующие стороны пропорциональны.

Согласно теореме о пропорциональности, отношение длин сторон, которые лежат на одной прямой и пересекаются, будет равно отношению отрезков, на которые они делят стороны треугольника. В нашем случае:

• АА1/АВ = А1В1/АВ

Длина отрезка АВ составляет 20 см. Поскольку АА1 и ВВ1 делят стороны в отношении 2:3, мы можем выразить длину отрезка А1В1 через длину АВ:

Длину отрезка А1В1 можно найти следующим образом:

• А1В1 = (АА1 + ВВ1) = (2/5)x + (2/5)y

Так как треугольники подобны, то:

А1В1 / АВ = (АА1 + ВВ1) / (АА1 + А1С + ВВ1 + В1С) = (2/5 + 2/5) / (2/5 + 3/5 + 2/5 + 3/5) = 4/10 / 10/5 = 4/10 * 5/10 = 2/10 = 1/5

Отсюда следует, что:

• А1В1 = (1/5) * АВ

Подставим значение длины отрезка АВ:

А1В1 = (1/5) * 20 см = 4 см.

Ответ: Длина отрезка А1В1 составляет 4 см.