В треугольнике авс даны длины сторон ав, ВС, ас, и диаметр вписанной окружности, которые образуют последовательные члены арифметической прогрессии. Какой периметр у этого треугольника, если диаметр вписанной окружности равен 6?

Геометрия 9 класс Треугольники и их свойства треугольник длины сторон арифметическая прогрессия диаметр окружности периметр треугольника геометрия задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с того, что нам даны длины сторон треугольника ABC: AB, BC, AC, и диаметр вписанной окружности, который равен 6. Эти длины образуют последовательные члены арифметической прогрессии.

Обозначим:

• d - диаметр вписанной окружности = 6
• a - первая сторона (AB)
• b - вторая сторона (BC)
• c - третья сторона (AC)

Так как стороны образуют арифметическую прогрессию, можем записать:

• b = a + k
• c = a + 2k

где k - разность прогрессии.

Теперь найдем периметр треугольника ABC:

• P = a + b + c = a + (a + k) + (a + 2k) = 3a + 3k = 3(a + k)

Также известно, что радиус вписанной окружности r связан с периметром P и площадью S треугольника следующей формулой:

r = S / (P / 2)

Для треугольника ABC:

• r = d / 2 = 6 / 2 = 3

Теперь выразим S через P и r:

• S = r * (P / 2) = 3 * (P / 2) = 1.5P

Так как стороны треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, можно также использовать формулу Герона для площади:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c), где p = P / 2.

Теперь подставим выражение для периметра:

• P = 3(a + k)
• p = (3(a + k)) / 2 = 1.5(a + k)

Теперь подставим значения для сторон:

• a = x
• b = x + k
• c = x + 2k

Теперь мы можем выразить периметр через известные значения:

• P = 3(a + k) = 3 * (x + k)

С учетом того, что у нас есть диаметр вписанной окружности, мы можем подставить значение и найти периметр:

Поскольку мы знаем, что стороны образуют арифметическую прогрессию, можем предположить, что:

• AB = x
• BC = x + d
• AC = x + 2d

Теперь мы можем подставить d = 6 и решить уравнение:

• P = 3 * (x + 3)

Теперь у нас есть система уравнений, где:

• AB = x
• BC = x + 6
• AC = x + 12

Теперь, чтобы найти x, мы можем воспользоваться тем, что сумма всех сторон должна быть равна 3 * (x + 3):

Периметр P = 3 * (x + 3) = 3x + 9.

Теперь мы можем просто подставить значение и получить периметр:

Итак, периметр равен 3 * 6 = 18.

Ответ: Периметр треугольника равен 18.