Давайте рассмотрим треугольник MNP и точку K, которая находится на отрезке MN. Мы знаем, что угол NKP является острым. Теперь мы будем использовать свойства треугольников и углов для доказательства того, что длина отрезка KP меньше длины отрезка MP.

1. Определим углы: Обозначим угол NKP как α. Поскольку угол NKP острый, это означает, что α < 90 градусов.
2. Используем теорему о синусах: В треугольнике NKP мы можем записать соотношение, используя теорему о синусах. Она гласит, что отношение сторон треугольника пропорционально синусам противолежащих углов.
3. Сравнение отрезков: Мы знаем, что в треугольнике MNP, угол MNP является внешним углом для треугольника NKP. Следовательно, угол MNP равен углу NKP + угол NMP. Это означает, что угол MNP больше угла NKP, так как угол NMP является положительным углом.
4. Применение теоремы о синусах: Теперь, если мы применим теорему о синусах к треугольнику MNP, мы получим, что:
   • MP / sin(α) = NP / sin(угол NMP)
5. Вывод: Поскольку угол MNP больше угла NKP, это приводит к тому, что длина отрезка MP будет больше длины отрезка KP. Таким образом, мы можем заключить, что:
   • KP < MP

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка KP меньше длины отрезка MP, основываясь на свойствах углов и теореме о синусах. Это завершает наше доказательство.