В треугольнике одна сторона на 2 см длиннее другой, а угол между ними равен 120 градусов. Какой периметр у этого треугольника, если третья сторона равна 7 см?

Геометрия 9 класс Треугольники и их свойства периметр треугольника геометрия стороны треугольника угол 120 градусов задача по геометрии Новый

Чтобы найти периметр треугольника, нам нужно сначала определить длины двух сторон, которые имеют отношение к углу в 120 градусов, а затем сложить все три стороны.

Давайте обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Сторона a - первая сторона (короткая)
• Сторона b - вторая сторона (длиннее на 2 см, то есть b = a + 2)
• Сторона c - третья сторона, которая равна 7 см

Теперь у нас есть следующая информация:

• Сторона b = a + 2 см
• Угол между сторонами a и b равен 120 градусов
• Сторона c = 7 см

Мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину стороны a. Теорема косинусов звучит так:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(угол)

Подставим известные значения:

• c = 7 см
• b = a + 2 см
• угол = 120 градусов, cos(120 градусов) = -0.5

Теперь подставим все в формулу:

7^2 = a^2 + (a + 2)^2 - 2 * a * (a + 2) * (-0.5)

Теперь упростим это уравнение:

• 49 = a^2 + (a^2 + 4a + 4) + a * (a + 2)
• 49 = a^2 + a^2 + 4a + 4 + (a^2 + 2a)
• 49 = 3a^2 + 6a + 4

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

3a^2 + 6a + 4 - 49 = 0

3a^2 + 6a - 45 = 0

Теперь можно сократить уравнение на 3:

a^2 + 2a - 15 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

Теперь находим корни:

a = (-b ± √D) / 2a = (-2 ± 8) / 2

Это дает нам два значения:

• a1 = (6) / 2 = 3
• a2 = (-10) / 2 = -5 (отрицательное значение, не подходит)

Таким образом, a = 3 см. Теперь найдем b:

b = a + 2 = 3 + 2 = 5 см.

Теперь у нас есть все стороны треугольника:

• a = 3 см
• b = 5 см
• c = 7 см

Теперь можем найти периметр треугольника, сложив все стороны:

Периметр = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 15 см.