Даны точки А (2;4), В (-2;1) и С (1;2). Найдите:

1. координаты векторов СА и СВ;
2. модули векторов СА и СВ;
3. координаты вектора DM=3CA-4CB;
4. скалярное произведение векторов СА и СВ;
5. угол между векторами СА и СВ.

Геометрия Колледж Векторы и их свойства векторы СА и СВ координаты векторов модуль вектора скалярное произведение угол между векторами Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Найдем координаты векторов СА и СВ.

Вектор определяется как разность координат конечной точки и начальной точки. Таким образом:

• Вектор СА = A - C = (2 - 1; 4 - 2) = (1; 2).
• Вектор СВ = B - C = (-2 - 1; 1 - 2) = (-3; -1).

Итак, координаты векторов:

• СА = (1; 2)
• СВ = (-3; -1)

2. Найдем модули векторов СА и СВ.

Модуль вектора можно найти по формуле:

|v| = √(x^2 + y^2), где (x; y) - координаты вектора.

• Модуль вектора СА = √(1^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5.
• Модуль вектора СВ = √((-3)^2 + (-1)^2) = √(9 + 1) = √10.

Итак, модули векторов:

• |СА| = √5
• |СВ| = √10

3. Найдем координаты вектора DM = 3CA - 4CB.

Сначала найдем векторы CA и CB:

• CA = A - C = (2 - 1; 4 - 2) = (1; 2) (это уже найдено).
• CB = B - C = (-2 - 1; 1 - 2) = (-3; -1) (это тоже найдено).

Теперь вычислим вектор DM:

• DM = 3CA - 4CB = 3(1; 2) - 4(-3; -1) = (3*1; 3*2) - (4*-3; 4*-1) = (3; 6) - (-12; -4) = (3 + 12; 6 + 4) = (15; 10).

Итак, координаты вектора DM:

• DM = (15; 10)

4. Найдем скалярное произведение векторов СА и СВ.

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле:

Скалярное произведение = x1 * x2 + y1 * y2, где (x1; y1) и (x2; y2) - координаты векторов.

• Скалярное произведение СА и СВ = (1 * -3) + (2 * -1) = -3 - 2 = -5.

Итак, скалярное произведение векторов:

• Скалярное произведение = -5

5. Найдем угол между векторами СА и СВ.

Угол между векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (Скалярное произведение) / (|СА| * |СВ|).

• cos(θ) = -5 / (√5 * √10) = -5 / √50 = -5 / (5√2) = -1 / √2.

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(-1/√2) = 135 градусов (или 3π/4 радиан).

Итак, угол между векторами СА и СВ:

• θ = 135 градусов.

Таким образом, мы нашли все необходимые значения:

• Координаты векторов СА и СВ: (1; 2) и (-3; -1).
• Модули векторов: √5 и √10.
• Координаты вектора DM: (15; 10).
• Скалярное произведение: -5.
• Угол между векторами: 135 градусов.