Даны векторы т(3; -1), п(3; 2), a = (6; x). Найдите:

1. а) косинус угла между векторами т и п;
2. б) значение х, если векторы т и a коллинеарны;
3. в) значение х, если векторы п и a перпендикулярны.

Геометрия Колледж Векторы и их свойства векторы косинус угла коллинеарность перпендикулярность геометрия решение задач векторная алгебра свойства векторов угол между векторами математические задачи Новый

Решим задачу шаг за шагом, начиная с пункта а).

а) Найдем косинус угла между векторами т и п.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

• cos(θ) = (т • п) / (|т| * |п|),

где т • п — скалярное произведение векторов, |т| и |п| — длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение т и п:

• т • п = (3 * 3) + ((-1) * 2) = 9 - 2 = 7.

Теперь найдем длины векторов т и п:

• |т| = √(3^2 + (-1)^2) = √(9 + 1) = √10,
• |п| = √(3^2 + 2^2) = √(9 + 4) = √13.

Теперь подставим все значения в формулу:

• cos(θ) = 7 / (√10 * √13) = 7 / √130.

Таким образом, косинус угла между векторами т и п равен 7 / √130.

б) Найдем значение x, если векторы т и a коллинеарны.

Векторы коллинеарны, если один из них является кратным другому. Это значит, что существует такое число k, что:

• т = k * a.

Подставим векторы:

• (3; -1) = k * (6; x).

Теперь получим систему уравнений:

• 3 = 6k,
• -1 = xk.

Решим первое уравнение:

• k = 3 / 6 = 1 / 2.

Теперь подставим значение k во второе уравнение:

• -1 = x * (1 / 2).

Умножим обе стороны на 2:

• -2 = x.

Таким образом, значение x равно -2.

в) Найдем значение x, если векторы п и a перпендикулярны.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

• п • a = 0.

Подставим векторы:

• (3; 2) • (6; x) = 0.

Вычислим скалярное произведение:

• 3 * 6 + 2 * x = 0.

Это уравнение можно упростить:

• 18 + 2x = 0.

Теперь решим его:

• 2x = -18,
• x = -18 / 2 = -9.

Таким образом, значение x равно -9.

В итоге:

• а) косинус угла между векторами т и п равен 7 / √130;
• б) значение x, если векторы т и a коллинеарны, равно -2;
• в) значение x, если векторы п и a перпендикулярны, равно -9.