Для реализации алгоритма быстрого возведения в степень на Python с использованием рекуррентных соотношений, нам нужно учитывать два случая: когда показатель степени четный и когда он нечетный. Давайте разберем шаги, которые необходимо выполнить для создания такого алгоритма.

1. Определение функции: Создайте функцию, которая будет принимать два аргумента: основание a и показатель степени n.
2. Базовый случай: Если n равно 0, то результатом будет 1, так как любое число в нулевой степени равно 1.
3. Рекурсивные случаи:
   • Если n четное, то используйте соотношение a^n = (a^2)^(n/2). В этом случае вы можете вызвать функцию рекурсивно с a * a и n / 2.
   • Если n нечетное, то используйте соотношение a^n = a * a^(n-1). Здесь вы вызываете функцию с a и n - 1.

Теперь давайте посмотрим на код, который реализует данный алгоритм:

def fast_pow(a, n):
    # Базовый случай
    if n == 0:
        return 1
    # Рекурсивный случай для четного n
    elif n % 2 == 0:
        half_pow = fast_pow(a * a, n // 2)
        return half_pow
    # Рекурсивный случай для нечетного n
    else:
        return a * fast_pow(a, n - 1)

Теперь давайте проанализируем, как работает эта функция:

• Когда вы вызываете fast_pow(a, n), функция проверяет, равен ли n нулю. Если да, возвращается 1.
• Если n четное, функция вызывает себя с a * a и n // 2, что эффективно уменьшает размер проблемы вдвое.
• Если n нечетное, функция вызывает себя с тем же основанием a и уменьшает n на 1, что делает его четным для следующего вызова.

Таким образом, данный алгоритм использует рекурсию и рекуррентные соотношения для быстрого возведения числа в степень, избегая прямого использования операции возведения в степень.