Как можно написать программу на C++, не используя вектор и учитывая ограничения по времени и памяти, для подсчета количества пар целых чисел (a, b), таких что (1≤a≤b≤n) и (a+b) делится на k? Входные данные: два целых положительных числа n и k (1≤n,k≤10^5). Каков будет выход: количество подходящих пар целых чисел?

Информатика 11 класс Алгоритмы и структуры данных программа на C++ подсчет пар целых чисел ограничения по времени и памяти делимость на k алгоритм для n и k количество подходящих пар информатика 11 класс Новый

Для решения задачи подсчета количества пар целых чисел (a, b), таких что (1≤a≤b≤n) и (a+b) делится на k, можно использовать следующий подход:

Шаг 1: Понять условия задачи

• Мы ищем такие пары (a, b), где a и b находятся в диапазоне от 1 до n.
• Условие (a + b) % k == 0 означает, что сумма a и b должна быть кратна k.
• Также необходимо учитывать, что a не может быть больше b.

Шаг 2: Подсчет остатков

Для упрощения задачи мы можем использовать остатки от деления чисел на k. Для этого создадим массив, который будет хранить количество чисел от 1 до n с определенным остатком при делении на k.

Шаг 3: Инициализация массива остатков

1. Создаем массив count размером k и инициализируем его нулями.
2. Проходим по всем целым числам от 1 до n и увеличиваем соответствующий элемент массива count. Например, если число i имеет остаток r при делении на k, то увеличиваем count[r].

Шаг 4: Подсчет пар

Теперь мы можем подсчитать количество подходящих пар:

1. Итерируем по всем возможным остаткам r1 от 0 до k-1.
2. Для каждого остатка r1 находим соответствующий остаток r2, такой что (r1 + r2) % k == 0. Это можно выразить как r2 = (k - r1) % k.
3. Если r1 == r2, то мы выбираем пары из одного остатка, и количество таких пар можно вычислить как count[r1] * (count[r1] - 1) / 2.
4. Если r1 != r2, то количество пар будет равно count[r1] * count[r2].
5. Важно, чтобы при подсчете пар с различными остатками мы не учитывали их дважды, поэтому будем итерировать только до k/2.

Шаг 5: Реализация на C++

Теперь давайте напишем код, который реализует вышеописанный алгоритм:

#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    int count[k] = {0};

    // Шаг 3: Подсчет остатков
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        count[i % k]++;
    }

    long long result = 0;

    // Шаг 4: Подсчет пар
    for (int r1 = 0; r1 <= k / 2; r1++) {
        int r2 = (k - r1) % k;
        if (r1 == r2) {
            result += (long long)count[r1] * (count[r1] - 1) / 2; // Пары из одного остатка
        } else {
            result += (long long)count[r1] * count[r2]; // Пары из разных остатков
        }
    }

    cout << result << endl;

    return 0;
}

Таким образом, мы получили количество подходящих пар (a, b), которые соответствуют заданным условиям. Этот алгоритм работает за линейное время относительно n и k, что делает его эффективным для заданных ограничений.