Решение:

1. Запишем уравнение, исходя из условия задачи:

$124_{10} = 324_x$, где $x$ — основание системы счисления.

2. Переведём число $124$ в развёрнутую форму записи в десятичной системе счисления:

$1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0$.

3. Аналогично переведём число $324$ в систему счисления с основанием $x$:

$3 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0$.

4. Приравняем эти два выражения и получим уравнение:

$1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 = 3 \cdot x^2 + 2 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0$

5. Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$. Для этого перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные:

$(3x^2+2x-120=0)$

6. Найдём дискриминант квадратного уравнения по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 3$, $b = 2$, $c = -120$. Подставим значения в формулу и найдём дискриминант:

$D = 2^2 - 4 3 (-120) = 4 + 1440 = 1444$.

7. Найдём корни уравнения, используя формулу:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставим известные значения и вычислим корни:

$x_1 = \frac{(-2) - \sqrt{1444}}{2 * 3} < 0$, что невозможно, так как основание системы не может быть отрицательным числом.

$x_2 = \frac{(-2) + \sqrt{1444}}{2 * 3} = 6$.

Ответ: искомое основание системы равно 6.