Для решения задачи нам нужно найти НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель) для заданных выражений и выяснить, как они связаны с выражением n² - 5n + 9.

Шаг 1: Найдем НОК(n+2; n+5)

Для нахождения НОК двух чисел a и b можно использовать формулу:

НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b)

В нашем случае a = n + 2 и b = n + 5.

• Сначала найдем НОД(n + 2, n + 5). Для этого воспользуемся свойством, что НОД(a, b) = НОД(a, b - a):
• НОД(n + 2, n + 5) = НОД(n + 2, (n + 5) - (n + 2)) = НОД(n + 2, 3).

Теперь нам нужно выяснить, какие значения может принимать НОД(n + 2, 3).

• Если n + 2 делится на 3, то НОД(n + 2, 3) = 3.
• Если n + 2 не делится на 3, то НОД(n + 2, 3) = 1.

Таким образом, возможные значения НОД(n + 2, n + 5) могут быть 1 или 3.

Теперь подставим это значение в формулу для НОК:

• Если НОД(n + 2, n + 5) = 1, то НОК(n + 2, n + 5) = (n + 2)(n + 5) = n² + 7n + 10.
• Если НОД(n + 2, n + 5) = 3, то НОК(n + 2, n + 5) = (n + 2)(n + 5) / 3 = (n² + 7n + 10) / 3.

Шаг 2: Найдем НОД(2n² + n; 2n² + 3n)

Для нахождения НОД этих двух выражений можно также использовать свойство:

НОД(a, b) = НОД(a, b - a).

В нашем случае a = 2n² + n и b = 2n² + 3n.

• НОД(2n² + n, 2n² + 3n) = НОД(2n² + n, (2n² + 3n) - (2n² + n)) = НОД(2n² + n, 2n).

Теперь мы можем упростить НОД(2n² + n, 2n):

• 2n² + n = n(2n + 1),
• 2n = 2n.

Теперь найдем НОД(n(2n + 1), 2n):

• Если n = 0, то НОД = 2n.
• Если n > 0, то НОД = n.

Таким образом, НОД(2n² + n; 2n² + 3n) будет равен n.

Шаг 3: Сравнение с n² - 5n + 9

Теперь у нас есть два выражения:

• НОК(n + 2; n + 5) = n² + 7n + 10 (или (n² + 7n + 10) / 3),
• НОД(2n² + n; 2n² + 3n) = n.

И мы знаем, что оба этих значения равны n² - 5n + 9. Чтобы понять, при каких значениях n это выполняется, мы можем решить уравнение:

• n² + 7n + 10 = n² - 5n + 9,
• или (n² + 7n + 10) / 3 = n² - 5n + 9.

Решив эти уравнения, мы можем найти конкретные значения n, при которых выполняется равенство. Это и будет ответом на нашу задачу.