Известно, что в треугольнике ABC площадь равна 48, медиана BM равна 8, и стороны AB и BC равны. Какова длина стороны AB?

Математика 10 класс Треугольники и их свойства математика 10 класс треугольник площадь медиана длина стороны AB равнобедренный треугольник задачи на треугольники геометрия Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства медиан и формулы для вычисления площади треугольника.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• AB = AC = a (так как AB и BC равны)
• BC = b

Медиана BM делит сторону AC на две равные части, то есть AM = MC = a/2. Площадь треугольника можно выразить через медиану следующим образом:

Площадь треугольника ABC также может быть вычислена по формуле через медиану:

Площадь = (2/3) * BM * h, где h - высота, проведенная из вершины A на основание BC.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника ABC равна 48, а медиана BM равна 8. Подставим известные значения в формулу:

48 = (2/3) * 8 * h.

Теперь решим это уравнение для h:

1. Умножим обе стороны на 3: 48 * 3 = 2 * 8 * h.
2. 144 = 16h.
3. Теперь разделим обе стороны на 16: h = 144 / 16 = 9.

Теперь, зная высоту h, можем выразить площадь через основание и высоту:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

Подставим основание (это сторона BC = b) и высоту (h = 9):

48 = (1/2) * b * 9.

Умножим обе стороны на 2:

96 = 9b.

Теперь найдем b:

b = 96 / 9 = 10.67 (приблизительно).

Теперь, используя теорему о медиане, можем найти длину стороны a:

BM = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2), где c - это сторона BC, которая равна b.

Так как BM = 8:

8 = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2b^2 - b^2).

Упростим уравнение:

16 = sqrt(2a^2 + b^2).

Квадрат обеих сторон:

256 = 2a^2 + b^2.

Теперь подставим b = 10.67 в это уравнение:

256 = 2a^2 + (10.67)^2.

256 = 2a^2 + 113.89.

Теперь решим это уравнение для a:

256 - 113.89 = 2a^2.

142.11 = 2a^2.

a^2 = 142.11 / 2 = 71.055.

a = sqrt(71.055) ≈ 8.43.

Таким образом, длина стороны AB (или AC) равна примерно 8.43.