Как можно исследовать функцию y=3x^2-4x+1 и построить ее график? Заранее спасибо!

Математика 10 класс Функции и их графики исследование функции график функции y=3x^2-4x+1 построение графика математика квадратная функция анализ функции Новый

Исследование функции y = 3x² - 4x + 1 включает несколько шагов: определение области определения, нахождение нулей функции, исследование знака функции, нахождение экстремумов и построение графика. Давайте рассмотрим каждый шаг подробнее.

1. Область определения:

Функция y = 3x² - 4x + 1 является многочленом, а значит, область определения – это все действительные числа. То есть, x ∈ R.

2. Нули функции:

Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение:

3x² - 4x + 1 = 0.

Мы можем использовать дискриминант для нахождения корней. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac,

где a = 3, b = -4, c = 1.

• D = (-4)² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня, которые можно найти по формуле:

x₁ = (-b + √D) / (2a) и x₂ = (-b - √D) / (2a).

• x₁ = (4 + 2) / 6 = 1;
• x₂ = (4 - 2) / 6 = 1/3.

Таким образом, нули функции: x₁ = 1 и x₂ = 1/3.

3. Исследование знака функции:

Теперь мы можем определить знак функции на интервалах, которые образуются нулями:

• Интервал (-∞, 1/3);
• Интервал (1/3, 1);
• Интервал (1, +∞).

Выберем тестовые точки:

• Для x = -1 (из интервала (-∞, 1/3)): y = 3(-1)² - 4(-1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 (положительно);
• Для x = 0.5 (из интервала (1/3, 1)): y = 3(0.5)² - 4(0.5) + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25 (отрицательно);
• Для x = 2 (из интервала (1, +∞)): y = 3(2)² - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 (положительно).

Таким образом, функция принимает следующие знаки:

• (-∞, 1/3): положительно;
• (1/3, 1): отрицательно;
• (1, +∞): положительно.

4. Нахождение экстремумов:

Для нахождения экстремумов найдем производную функции:

y' = 6x - 4.

Приравняем производную к нулю:

6x - 4 = 0.

• x = 2/3.

Теперь определим, является ли это точка минимумом или максимумом. Для этого подставим значение x = 2/3 в производную:

• y'' = 6 (положительно), значит, в этой точке находится минимум.

Теперь найдем значение функции в этой точке:

y(2/3) = 3(2/3)² - 4(2/3) + 1 = 3(4/9) - 8/3 + 1 = 4/3 - 8/3 + 1 = -4/3 + 3/3 = -1/3.

Таким образом, минимум функции находится в точке (2/3, -1/3).

5. Построение графика:

Теперь, имея все необходимые данные, можем построить график функции:

• Нули функции: (1, 0) и (1/3, 0);
• Минимум: (2/3, -1/3);
• Знаки функции: положительный, отрицательный, положительный.

График будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с минимумом в точке (2/3, -1/3) и пересечениями с осью x в точках (1, 0) и (1/3, 0).

Таким образом, мы исследовали функцию и построили ее график. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!