Как можно решить следующую задачу по математике:

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 2, а высота равна √2. Как определить угол между плоскостями ABC и AB1C?

Математика 10 класс Геометрия Угол между плоскостями правильная четырехугольная призма задача по математике высота призмы сторона основания плоскости ABC и AB1C Новый

Чтобы определить угол между плоскостями ABC и AB1C в правильной четырехугольной призме, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определим координаты вершин призмы.

Пусть основание ABCD лежит в плоскости XY. Мы можем задать координаты вершин следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 2, 0)
• D(0, 2, 0)
• A1(0, 0, √2)
• B1(2, 0, √2)
• C1(2, 2, √2)
• D1(0, 2, √2)

Шаг 2: Найдем нормали к плоскостям ABC и AB1C.

Плоскость ABC образована точками A, B и C. Чтобы найти нормаль к этой плоскости, нам нужно найти два вектора, лежащих в этой плоскости.

• Вектор AB = B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0)
• Вектор AC = C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов для получения нормали к плоскости ABC:

• N1 = AB x AC = (2, 0, 0) x (2, 2, 0) = (0, 0, 4)

Таким образом, нормаль к плоскости ABC: N1 = (0, 0, 4).

Теперь найдем нормаль к плоскости AB1C. Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор AB = (2, 0, 0) - (0, 0, √2) = (2, 0, -√2)
• Вектор AC = (2, 2, 0) - (0, 0, √2) = (2, 2, -√2)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов:

• N2 = AB x AC = (2, 0, -√2) x (2, 2, -√2)

Вычисляем детерминант:

• N2 = |i j k|
• |2 0 -√2|
• |2 2 -√2|

Вычисляем, получаем нормаль к плоскости AB1C:

• N2 = (2√2, 2√2, 4)

Шаг 3: Найдем угол между нормалями.

Угол между плоскостями можно найти с помощью скалярного произведения их нормалей:

• cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|)

Сначала найдем скалярное произведение N1 и N2:

• N1 • N2 = (0, 0, 4) • (2√2, 2√2, 4) = 0*2√2 + 0*2√2 + 4*4 = 16

Теперь найдем длины векторов N1 и N2:

• |N1| = √(0^2 + 0^2 + 4^2) = 4
• |N2| = √((2√2)^2 + (2√2)^2 + 4^2) = √(8 + 8 + 16) = √32 = 4√2

Теперь подставим значения в формулу:

• cos(θ) = 16 / (4 * 4√2) = 1 / √2

Следовательно, угол θ = 45 градусов.

Ответ:

Угол между плоскостями ABC и AB1C равен 45 градусов.