Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см?

Математика 10 класс Геометрия диагональ параллелепипеда вычисление диагонали формула диагонали прямоугольный параллелепипед задачи по математике Новый

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, зная длины диагоналей его граней, нам нужно использовать свойства этих диагоналей и формулы для вычисления диагонали самого параллелепипеда.

Обозначим стороны параллелепипеда как a, b и c. Тогда диагонали его граней можно выразить следующим образом:

• Диагональ грани с размерами a и b: d1 = sqrt(a^2 + b^2)
• Диагональ грани с размерами b и c: d2 = sqrt(b^2 + c^2)
• Диагональ грани с размерами a и c: d3 = sqrt(a^2 + c^2)

В нашем случае даны значения диагоналей:

• d1 = 11 см
• d2 = 19 см
• d3 = 20 см

Теперь мы можем записать систему уравнений:

1. a^2 + b^2 = 11^2 = 121
2. b^2 + c^2 = 19^2 = 361
3. a^2 + c^2 = 20^2 = 400

Теперь решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим a^2:

a^2 = 121 - b^2

Подставим это значение во второе уравнение:

(121 - b^2) + c^2 = 400

c^2 = 400 - 121 + b^2

c^2 = 279 + b^2

Теперь подставим это значение в третье уравнение:

(121 - b^2) + (279 + b^2) = 400

121 + 279 = 400

400 = 400

Теперь у нас есть выражение для c^2:

c^2 = 279 + b^2

Теперь мы можем найти значения a^2, b^2 и c^2. Для этого вернемся к первому уравнению и выразим b^2:

b^2 = 361 - c^2

Подставим значение c^2:

b^2 = 361 - (279 + b^2)

2b^2 = 361 - 279

2b^2 = 82

b^2 = 41

b = sqrt(41)

Теперь подставим b^2 в первое уравнение, чтобы найти a^2:

a^2 = 121 - 41 = 80

a = sqrt(80) = 4sqrt(5)

Теперь подставим b^2 в уравнение для c^2:

c^2 = 279 + 41 = 320

c = sqrt(320) = 8sqrt(5}

Теперь, когда у нас есть значения a, b и c, мы можем найти диагональ параллелепипеда:

D = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

D = sqrt(80 + 41 + 320) = sqrt(441) = 21 см.

Ответ: Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 21 см.