Как найти площадь фигуры, которая ограничена заданными линиями? Не забудьте сделать чертеж. Уравнения: y = x² - 4x + 3 и y = x - 1.

Математика 10 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры ограниченные линии уравнения чертеж математика 10 класс Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. В данном случае у нас есть две функции: y = x² - 4x + 3 и y = x - 1. Давайте рассмотрим процесс по шагам.

Шаг 1: Найдите точки пересечения линий.

Для этого нам нужно приравнять оба уравнения:

x² - 4x + 3 = x - 1

Переносим все члены в одну сторону:

x² - 4x - x + 3 + 1 = 0

x² - 5x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

Корни уравнения:

x1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4

x2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 1 и x = 4.

Шаг 2: Найдите значения y в точках пересечения.

Теперь подставим x = 1 и x = 4 в одно из уравнений, например, y = x - 1:

• Для x = 1: y = 1 - 1 = 0
• Для x = 4: y = 4 - 1 = 3

Таким образом, точки пересечения: (1, 0) и (4, 3).

Шаг 3: Постройте чертеж.

На графике мы можем изобразить обе функции:

• y = x² - 4x + 3 - это парабола, открытая вверх.
• y = x - 1 - это прямая линия.

Отметьте точки пересечения (1, 0) и (4, 3) на графике.

Шаг 4: Найдите площадь фигуры.

Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разность функций на интервале от x = 1 до x = 4:

Площадь = ∫(x=1 до x=4) [(x - 1) - (x² - 4x + 3)] dx

Упростим выражение под интегралом:

(x - 1) - (x² - 4x + 3) = -x² + 5x - 4

Теперь вычислим интеграл:

1. ∫(-x² + 5x - 4) dx = (-1/3)x³ + (5/2)x² - 4x
2. Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 4:

Подставляем x = 4:

(-1/3)(4)³ + (5/2)(4)² - 4(4) = -64/3 + 40 - 16 = -64/3 + 24/3 = -40/3

Подставляем x = 1:

(-1/3)(1)³ + (5/2)(1)² - 4(1) = -1/3 + 5/2 - 4 = -1/3 + 15/6 - 24/6 = -1/3 - 9/6 = -1/3 - 3/2 = -11/6

Теперь вычтем:

Площадь = (-40/3) - (-11/6) = -40/3 + 11/6 = -80/6 + 11/6 = -69/6 = 23/2.

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 23/2 единиц площади.