Как определить область определения, область значения и четность или нечетность функции: f(x) = (x - 2) / (x^3 - 27)?

Математика 10 класс Функции и их свойства область определения функции область значения функции четность функции нечетность функции функции с дробями математика 10 класс анализ функции свойства функций график функции математические функции Новый

Чтобы определить область определения, область значения и четность или нечетность функции f(x) = (x - 2) / (x^3 - 27), давайте последовательно разберем каждый из этих аспектов.

1. Область определения функции:

Область определения функции – это все значения x, при которых функция определена. В данном случае функция является дробью, и мы должны быть осторожны с нулем в знаменателе.

• Знаменатель равен нулю, когда x^3 - 27 = 0.
• Решим это уравнение: x^3 = 27.
• Извлекая кубический корень, получаем: x = 3.

Таким образом, функция не определена при x = 3. Следовательно, область определения функции:

Область определения: x ∈ R, x ≠ 3.

2. Область значения функции:

Область значения функции – это все возможные значения f(x), которые может принимать функция. Чтобы найти область значения, сначала рассмотрим поведение функции.

• Когда x стремится к 3, f(x) будет стремиться к бесконечности (либо положительной, либо отрицательной в зависимости от направления подхода).
• При x < 3, f(x) < 0, а при x > 3, f(x) > 0.
• Также рассмотрим пределы функции при x, стремящемся к бесконечности: f(x) будет стремиться к 0.

Таким образом, функция может принимать все значения, кроме 0. Следовательно, область значения:

Область значения: f(x) ∈ R, f(x) ≠ 0.

3. Четность или нечетность функции:

Чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, нужно рассмотреть f(-x) и сравнить его с f(x) и -f(x):

• f(-x) = (-x - 2) / ((-x)^3 - 27) = (-x - 2) / (-x^3 - 27).
• Упрощаем: f(-x) = (-x - 2) / (-(x^3 + 27)) = (x + 2) / (x^3 + 27).

Теперь сравним f(-x) с f(x) и -f(x):

• f(x) = (x - 2) / (x^3 - 27).
• -f(x) = -(x - 2) / (x^3 - 27) = (-x + 2) / (x^3 - 27).

Мы видим, что f(-x) не равно ни f(x), ни -f(x), следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Итоги:

• Область определения: x ∈ R, x ≠ 3.
• Область значения: f(x) ∈ R, f(x) ≠ 0.
• Четность/нечетность: функция нечетная.