Чтобы провести полное исследование функции f(x) = -(x - 2)^2 - 3 и построить её график, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Данная функция является квадратичной, так как она имеет вид f(x) = ax^2 + bx + c. В нашем случае a = -1, b = 0 и c = -3. Так как a < 0, это означает, что парабола будет открыта вниз.

Вершина параболы для функции вида f(x) = a(x - h)^2 + k находится в точке (h, k). В нашем случае h = 2 и k = -3. Таким образом, вершина функции находится в точке (2, -3).

Ось симметрии для квадратичной функции проходит через вершину. В нашем случае ось симметрии будет вертикальной линией x = 2.

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение f(x) = 0:

1. Сначала приравняем функцию к нулю: -(x - 2)^2 - 3 = 0.
2. Переносим -3 на правую сторону: -(x - 2)^2 = 3.
3. Умножаем обе стороны на -1: (x - 2)^2 = -3.

Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным, у данного уравнения нет действительных корней. Это означает, что функция не пересекает ось абсцисс.

Чтобы найти y-пересечение, подставим x = 0 в функцию:

1. f(0) = -(0 - 2)^2 - 3 = -4 - 3 = -6.

Таким образом, y-пересечение функции находится в точке (0, -6).

Поскольку парабола открыта вниз и у нас нет действительных корней, функция принимает максимальное значение в вершине (2, -3). Значения функции будут убывать при x < 2 и возрастать при x > 2.

Теперь, когда мы собрали всю необходимую информацию, можно построить график функции:

• Наносим точку вершины (2, -3).
• Наносим точку y-пересечения (0, -6).
• Поскольку функция убывает до вершины и возрастает после, мы можем провести плавную кривую, открывающуюся вниз, через эти точки.

Таким образом, график функции f(x) = -(x - 2)^2 - 3 будет выглядеть как парабола, открытая вниз, с вершиной в точке (2, -3) и y-пересечением в точке (0, -6).