Как вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2+4x-5 и y=0?

Математика 10 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры кривые y=x^2+4x-5 y=0 вычисление площади математика 10 класс Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 4x - 5 и y = 0, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

1. Найти точки пересечения кривых.

   Для этого приравняем уравнение параболы к нулю:

   x^2 + 4x - 5 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней:

   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = -5.

   • Вычислим дискриминант: D = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
   • Теперь найдем корни:
   • x1 = (-4 + √36) / 2 = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1.
   • x2 = (-4 - √36) / 2 = (-4 - 6) / 2 = -10 / 2 = -5.

   Таким образом, точки пересечения: x1 = 1 и x2 = -5.

2. Найти площадь между кривыми.

   Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти, вычислив интеграл от функции параболы на отрезке от -5 до 1:

   Площадь S = ∫(x^2 + 4x - 5) dx от -5 до 1.

3. Вычислить определенный интеграл.

   Сначала найдем неопределенный интеграл:

   ∫(x^2 + 4x - 5) dx = (1/3)x^3 + 2x^2 - 5x + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   S = [(1/3)(1)^3 + 2(1)^2 - 5(1)] - [(1/3)(-5)^3 + 2(-5)^2 - 5(-5)].

4. Вычислить значение интеграла.

   Подставим значения:

   S = [(1/3)(1) + 2(1) - 5] - [(1/3)(-125) + 2(25) + 25].

   • Для верхнего предела: (1/3 + 2 - 5) = (1/3 - 3) = -8/3.
   • Для нижнего предела: (-(-125/3) + 50 + 25) = (125/3 + 75/3) = 200/3.

   Теперь найдем S:

   S = -8/3 - 200/3 = -208/3.

5. Найти модуль площади.

   Площадь не может быть отрицательной, поэтому берем модуль:

   Площадь = 208/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 4x - 5 и y = 0, равна 208/3 квадратных единиц.