Какова площадь фигуры, которая ограничена параболой y=x^2, прямой y=2-x и осью OX?

Математика 10 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигуры парабола y=x^2 прямая y=2-x ось OX 10 класс математика Новый

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = x^2, прямой y = 2 - x и осью OX, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых:
   • Нам нужно решить систему уравнений:
   • y = x^2 и y = 2 - x.
   • Приравняем их: x^2 = 2 - x.
   • Перепишем уравнение: x^2 + x - 2 = 0.
   • Теперь решим квадратное уравнение, используя формулу корней:
   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.
   • Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).
   • Подставляем значения: x1 = ( -1 + 3 ) / 2 = 1 и x2 = ( -1 - 3 ) / 2 = -2.
   • Таким образом, точки пересечения находятся в x = -2 и x = 1.
2. Найти площадь фигуры:
   • Площадь между кривыми можно найти, вычислив интеграл от верхней функции (прямой) до нижней функции (параболы).
   • В нашем случае верхней функцией является y = 2 - x, а нижней y = x^2.
   • Площадь S = ∫[x=-2 до x=1] ((2 - x) - (x^2)) dx.
   • Теперь вычислим этот интеграл:
   • 1) Запишем интеграл: S = ∫[x=-2 до x=1] (2 - x - x^2) dx.
   • 2) Найдем неопределенный интеграл: ∫(2 - x - x^2) dx = 2x - (x^2)/2 - (x^3)/3 + C.
   • 3) Теперь подставим пределы интегрирования:
   • S = [2(1) - (1^2)/2 - (1^3)/3] - [2(-2) - ((-2)^2)/2 - ((-2)^3)/3].
   • 4) Вычисляем: S = [2 - 0.5 - 0.333] - [-4 - 2 + (8/3)].
   • 5) Упрощаем: S = [1.167] - [-6 + 2.667] = 1.167 + 3.333 = 4.5.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^2, прямой y = 2 - x и осью OX, равна 4.5.