Как вычислить площадь полной поверхности конуса, если его высота составляет h, а угол между образующей и плоскостью основания равен альфа?

Математика 10 класс Площадь поверхности конуса площадь полной поверхности конуса высота конуса h угол альфа конус формула площади конуса геометрия конуса математика 10 класс Новый

Чтобы вычислить площадь полной поверхности конуса, нам нужно знать несколько параметров: радиус основания (r), высоту (h) и образующую (l). Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности.

Сначала давайте определим образующую (l) конуса. Образующая конуса связана с высотой (h) и радиусом основания (r) через угол альфа. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса:

• Согласно определению синуса: sin(альфа) = h / l.
• Согласно определению косинуса: cos(альфа) = r / l.

Из этих уравнений можно выразить l:

• l = h / sin(альфа).
• l = r / cos(альфа).

Теперь, чтобы найти радиус r, мы можем использовать соотношение из второго уравнения:

r = l * cos(альфа).

Теперь, когда у нас есть все необходимые параметры, давайте вычислим площади:

• Площадь основания: это круг, поэтому S_основания = π * r².
• Площадь боковой поверхности: S_боковая = π * r * l.

Теперь подставим l:

S_боковая = π * r * (h / sin(альфа)).

Теперь мы можем выразить полную площадь поверхности конуса:

Полная площадь поверхности:

S_полная = S_основания + S_боковая = π * r² + π * r * (h / sin(альфа)).

Теперь подставим r из выражения r = l * cos(альфа) в формулу:

Таким образом, мы получаем формулу для полной площади поверхности конуса в зависимости от высоты h и угла альфа:

S_полная = π * (l * cos(альфа))² + π * (l * cos(альфа)) * (h / sin(альфа)).

Теперь вы можете подставить известные значения h и альфа, чтобы вычислить площадь полной поверхности конуса.