Какое расстояние D1E, если реброкуба ABCDA1B1C1D1 равно 8 корней из 2, точки M и N лежат на ребрах AA1 и CC1 соответственно, причем AM=CN=2 корня из 2, а через вершину B и середину отрезка MN проведена прямая, пересекающая плоскость грани A1B1C1D1 в точке E?

Математика 10 класс Геометрия расстояние D1E Ребро куба точки M и N плоскость грани прямая через B Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим координаты вершин куба.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 8√2, значит, длина ребра куба составляет 8√2. Мы можем установить координаты вершин куба следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(8√2, 0, 0)
• C(8√2, 8√2, 0)
• D(0, 8√2, 0)
• A1(0, 0, 8√2)
• B1(8√2, 0, 8√2)
• C1(8√2, 8√2, 8√2)
• D1(0, 8√2, 8√2)

Шаг 2: Найдем координаты точек M и N.

Точка M лежит на ребре AA1, и AM = 2√2. Так как A(0, 0, 0) и A1(0, 0, 8√2), то координаты точки M будут:

• M(0, 0, 2√2)

Точка N лежит на ребре CC1, и CN = 2√2. Так как C(8√2, 8√2, 0) и C1(8√2, 8√2, 8√2), то координаты точки N будут:

• N(8√2, 8√2, 2√2)

Шаг 3: Найдем координаты середины отрезка MN.

Середина отрезка MN (обозначим ее O) вычисляется по формуле:

• O = ((x_M + x_N)/2, (y_M + y_N)/2, (z_M + z_N)/2)

Подставляем координаты:

• O = ((0 + 8√2)/2, (0 + 8√2)/2, (2√2 + 2√2)/2) = (4√2, 4√2, 2√2)

Шаг 4: Запишем уравнение прямой, проходящей через точку B и O.

Координаты точки B(8√2, 0, 0) и O(4√2, 4√2, 2√2). Уравнение прямой можно записать в параметрической форме:

• x = 8√2 + t(4√2 - 8√2)
• y = 0 + t(4√2 - 0)
• z = 0 + t(2√2 - 0)

Шаг 5: Найдем уравнение плоскости A1B1C1D1.

Плоскость A1B1C1D1 проходит через точки A1(0, 0, 8√2), B1(8√2, 0, 8√2), C1(8√2, 8√2, 8√2) и D1(0, 8√2, 8√2). Уравнение плоскости можно записать как z = 8√2.

Шаг 6: Найдем точку E, где прямая пересекает плоскость.

Подставим z = 8√2 в уравнение прямой:

• 0 + t(2√2) = 8√2

Отсюда находим t:

• t = 4

Теперь подставим значение t в уравнения прямой для x и y:

• x = 8√2 + 4(4√2 - 8√2) = 8√2 - 16√2 = -8√2
• y = 0 + 4(4√2) = 16√2

Таким образом, координаты точки E: (-8√2, 16√2, 8√2).

Шаг 7: Найдем расстояние D1E.

Координаты D1(0, 8√2, 8√2) и E(-8√2, 16√2, 8√2). Расстояние D1E вычисляется по формуле:

• D1E = √((x_E - x_D1)² + (y_E - y_D1)² + (z_E - z_D1)²)

Подставляем координаты:

• D1E = √((-8√2 - 0)² + (16√2 - 8√2)² + (8√2 - 8√2)²)
• D1E = √((64*2) + (8√2)² + 0) = √(128 + 64) = √192 = 8√3.

Ответ: расстояние D1E равно 8√3.