Какое расстояние от точки D до плоскости ACDI в прямоугольном параллелепипеде ABCDA, где AB=2, BC=4 и AA1=6?

Математика 10 класс Геометрия расстояние от точки до плоскости прямоугольный параллелепипед геометрия ACDI ABCDA математика задачи по математике расстояние в пространстве Новый

Чтобы найти расстояние от точки D до плоскости ACDI в прямоугольном параллелепипеде ABCDA, давайте сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, где AB=2, BC=4 и AA1=6, координаты вершин можно задать следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(2, 0, 0)
• C(2, 4, 0)
• D(0, 4, 0)
• A1(0, 0, 6)
• B1(2, 0, 6)
• C1(2, 4, 6)
• D1(0, 4, 6)

Теперь определим плоскость ACDI. Для этого нам нужны три точки, которые находятся на этой плоскости. Мы можем взять точки A, C и D:

• A(0, 0, 0)
• C(2, 4, 0)
• D(0, 4, 0)

Плоскость определяется вектором, который можно получить от двух векторов, образованных этими точками. Рассмотрим векторы AC и AD:

• AC = C - A = (2, 4, 0) - (0, 0, 0) = (2, 4, 0)
• AD = D - A = (0, 4, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4, 0)

Теперь найдем векторное произведение векторов AC и AD, чтобы получить нормаль к плоскости. Векторное произведение двух векторов (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

(y1*z2 - z1*y2, z1*x2 - x1*z2, x1*y2 - y1*x2).

Подставим значения:

• n = (4*0 - 0*4, 0*0 - 2*0, 2*4 - 4*0) = (0, 0, 8).

Таким образом, нормаль к плоскости ACDI равна (0, 0, 8). Мы можем упростить это до (0, 0, 1), так как это направление нормали.

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Для плоскости, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, расстояние от точки (x0, y0, z0) до плоскости вычисляется по формуле:

Расстояние = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Для нашей плоскости ACDI, где нормаль (0, 0, 1), уравнение плоскости можно записать как:

0*x + 0*y + 1*z = 0, или z = 0.

Таким образом, D(0, 4, 0) имеет координаты (0, 4, 0). Подставим эти значения в формулу:

• A = 0, B = 0, C = 1, D = 0, x0 = 0, y0 = 4, z0 = 0.

Расстояние = |0*0 + 0*4 + 1*0 + 0| / sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = |0| / 1 = 0.

Таким образом, расстояние от точки D до плоскости ACDI равно 0, что означает, что точка D лежит на плоскости ACDI.