Какова длина гипотенузы c равнобедренного прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2?

Математика 10 класс Геометрия длина гипотенузы равнобедренный треугольник радиус вписанной окружности математика 10 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти длину гипотенузы c равнобедренного прямоугольного треугольника, в котором радиус вписанной окружности равен 2, воспользуемся следующими шагами:

1. Определим свойства равнобедренного прямоугольного треугольника.
   • В равнобедренном прямоугольном треугольнике два катета равны между собой, обозначим их как a.
   • Гипотенуза будет равна c.
2. Найдем формулу радиуса вписанной окружности.
   • Радиус вписанной окружности r в прямоугольном треугольнике можно выразить через его катеты и гипотенузу по формуле: r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, c - гипотенуза.
   • Поскольку у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, то a = b. Таким образом, формула примет вид: r = (2a - c) / 2.
   • Зная, что r = 2, подставим это значение в формулу: 2 = (2a - c) / 2.
   • Умножим обе стороны уравнения на 2: 4 = 2a - c.
   • Теперь выразим c: c = 2a - 4.
3. Используем теорему Пифагора для нахождения c.
   • Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство: c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2.
   • Таким образом, можно выразить c: c = sqrt(2a^2) = a * sqrt(2).
4. Теперь у нас есть два выражения для c:
   • Первое: c = 2a - 4
   • Второе: c = a * sqrt(2)
5. Приравняем оба выражения для c:
   • 2a - 4 = a * sqrt(2).
   • Преобразуем уравнение: 2a - a * sqrt(2) = 4.
   • Вынесем a за скобки: a(2 - sqrt(2)) = 4.
   • Теперь выразим a: a = 4 / (2 - sqrt(2)).
6. Подставим значение a обратно в одно из выражений для c:
   • c = a * sqrt(2).
   • Теперь подставим a: c = (4 / (2 - sqrt(2))) * sqrt(2).
   • Упростим это выражение, чтобы получить значение c.

После всех преобразований мы получим длину гипотенузы c. В результате, длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с радиусом вписанной окружности 2 будет равна 4 * sqrt(2) / (2 - sqrt(2)).